K-means & K-SVD原理

应用场景

K-means算法多用于聚类
K-SVD算法则可用于压缩，编码，聚类等

稀疏表示

用较少的基本信号的线性组合来表达大部分或者全部的原始信号。
每个矩阵的列向量可看成一个信号，一个矩阵则是信号的集合。
其中，基本信号可成为原子信号。

设矩阵Y为样本集，由N个样本组成，每个样本由n个特征表示，即Y的尺寸为(n * N)。
所谓稀疏表示，就是找到一组向量基(一组原子信号)，将此组向量基进行线性组合类表示矩阵(样本集)。

Y = D X

这里的

D

是

n * K

的矩阵，称为字典，

D

是由

K

个

n

维原子组成。且

n << P

，此字典称为超完备字典。

X

由N个k维系数向量组成。N对应样本个数。k对应字典个数。

主要目标

寻找最佳的字典 $D$ ，同时使 $X$ 系数矩阵达到稀疏最大。系数矩阵中，0元素越多，越稀疏，即目标是用更少的原子线性组合来逼近原始矩阵。我这里系数矩阵指的是待优化的稀疏矩阵。
即

m i n ∥ X ∥_{0}

s . t . Y = D X

K-means算法

K-means算法可以看做是K-SVD的简单版，同样可以理解K-SVD是K-means算法的衍生版本。K-means算法中X类似one-hot形式，X中的每个列向量中只有一项不为0，其余均为0，即，每个样本只由一个原子逼近。此处是逼近，并不能等于。

K-means实现方法:

在样本集中随机挑选k个样本作为质心，即随机初始化k个原子，此步骤可视为字典的初始化。
通过计算样本与质心之间的距离，样本类别化为最近的质心所对应的类别，就是，离谁近，则化为谁的类。此步骤可视为稀疏矩阵的初始化，只不过对应系数矩阵的每一列只有一项不为0，其余均为0，不为0的一项的索引便是我们样本对应的类别。
通过划分好的类别来重新计算每类样本的质心。此步便是原子矩阵的优化。
根据新计算得来的质心重新分类(原子矩阵，即字典的每个列向量则可看做是一个质心)。此步便是稀疏矩阵的优化。
直至两步质心(原子矩阵)相差少于规定的阈值，便停止优化。

K-SVD算法原理

K-means主要通过计算距离来分类，并不是利用 $D X$ 来十分逼近原样本矩阵 $Y$ ，从而主要用于聚类，而K-SVD则由一系列原子来线性组合逼近，因此相比K-means更适用于压缩，编码等应用。
同样。K-SVD算法也分两步：字典的优化及系数矩阵的优化。

K-SVD算法步骤

K-SVD算法也分两步：字典的优化及系数矩阵的优化。优化系统矩阵时，字典固定，优化字典时，系数矩阵同时跟着优化。
1. 同K-means算法一样，在样本集中随机挑选K个样本形成原子矩阵，并初始化系数矩阵全为0.
2. 固定字典，优化系数矩阵(求取样本集对应该字典的稀疏编码)
设样本集中的一个样本向量 $y$ ，设原子矩阵中的原子个数为4，令 $D = [d 1, d 2, d 3, d 4]$ ，求对应的系数向量 $x$ ，使得 $D x \approx y$ ，使用此方法从而的整个系数矩阵
系数矩阵计算方法：
(1) 计算D中所有原子与y的点积，求取点积结果中的最大值对应的原子d。两个向量的点积越大，则表示两个向量方向更为接近，即两个向量之间的夹角越小。
(2) 设 $d 2 \cdot y$ 的值最大，则将 $d 2$ 作为第一个原子向量，则 $y$ 对应的系数向量 $x = (0, b, 0, 0)$ ， $b$ 为待求取参数。
(3) 求解系数b：

y - b \cdot d 2 = 0

利用最小二乘法计算系数b。
这里介绍两个概念：

超定方程是指未知数小鱼方程个数的方程。
此方程参数只有一个 $b$ ，因此也属于超定方程。
最小二乘法也称最小平方法，将无解方程，转化为求取距离最小的方程，即将 $X β = y$ 转化为求 $m i n S (β) =∥ X β - y ∥^{2}$ ，详细最小二乘法参考百度百科最小二乘法

(4) 利用以上得到的原子向量及系数向量，计算残差向量： $y^{'} = y - b \cdot d 2$ 。
如果残差向量小于误差阈值 $ε$ ，则结束系数矩阵的优化计算，若不满足，则进入下一步计算。
(5) 计算字典中除 $d 2$ 剩余原子向量与残差向量 $y^{'}$ 的方向最接近的原子向量，即计算剩余原子向量中与残差向量的点积最大的原子向量。本例中如下：

d 1 \cdot y^{'}, d 3 \cdot y^{'}, d 4 \cdot y^{'}

得到最大值随影的原子向量d，假设

d 3 \cdot y^{'}

最大，那么则将系数矩阵更新为：

x = (0, b, c, 0)

其中b、c是未知参数。
(6) 求解系数b、c，同样为超定方程：

y - b \cdot d 2 - c \cdot d 3 = 0

再利用最小二乘法，求得b、c。
(7) 更新残差向量

y^{'} = y - b \cdot d 2 - c \cdot d 3

，如果y’的模长满足阈值范围，那么就结束，否则就继续循环，就这样一直循环下去。
3. 字典优化，同时更新系数矩阵
更新字典，采用逐列更新原子向量的方法来更新。
将原子向量的作用进行分解，即：

D X = \sum_{i = 1}^{K} d_{i} x_{i}

d_{i}

则表示原子矩阵

D

中的第

i

个原子向量，

x_{i}

则表示

X

的第

i

行。

对于 $D X$ 的两种理解：
$D$ 由K个基本原子向量构成，将系数矩阵按列拆解称N个系数向量，N对应样本个数。
系数矩阵 $X$ ，按列拆解，每一列对应样本矩阵中的每一列，即一个系数向量对应一个样本向量。系数向量的各维对应字典的个数。 $y = D \cdot x$ ，其中 $y$ 为一个样本(样本矩阵中其中一列)， $x$ 为系数矩阵中的其中一列，即字典中原子向量的线性组合逼近一个个样本。
系数矩阵按行拆解，每一行对应原子矩阵中的每一列，即系数矩阵的每一行对应字典中的一个原子。 $d_{i} x_{i}, 0 <= i <= k - 1$ 则表示一个原子向量 $d_{i}$ 对整个样本矩阵的影响。 $Y \approx D X = \sum_{i = 1}^{K} d_{i} x_{i}$

初始化字典是随机抽取样本作为字典，且本身字典的行数小于列数，因此存在一些重复，所以整体误差 $E = Y - D X$ 仍需要进一步优化。
K-SVD采取的字典更新算法是，对原子向量进行逐个更新。算法原理：
(1) 剥离字典中第k个原子向量对 $D K$ 的贡献，如果不计入第k个原子向量的贡献，则误差矩阵为：

E_{k} = Y - \sum_{i \neq k} d_{i} x_{i}

然后优化

d_{k}, x_{k}

，使得

E_{k}

最小。即使

d_{k} x_{k} \approx E_{k}

。
注意此处

d_{k} x_{k}

是一个列向量乘以一个行向量，

x_{k}

是系数矩阵的行，而非列向量。
(2) 去除

E_{k}

中对应

x_{k}

为0项对应的部分。

这种做法优点：
很大部分的减少 $E_{k}$ 的大小，简化计算；
使优化后系数X中的为零项仍旧为0，保证稀疏性。
具体做法：
设对 $d_{k}$ 进行优化， $d_{k}$ 对应系数矩阵的第k行，记为 $x_{k}$ ，系数矩阵 $X$ 的列对应的样本矩阵 $Y$ 及误差矩阵 $E$ 的列。因此，想要去掉 $d_{k}$ 对应的 $x_{k}$ 为0项对应误差矩阵 $E_{k}$ 中的部分(去掉没有受 $d_{k}$ 影响的误差列，即 $d_{k}$ 不参与该列的线性逼近)，就去掉 $E_{k}$ 对应的 $x_{k}$ 中等于0的列。即提取 $E_{k}$ 对应的列。
初始化一个矩阵 $Ω$ ，设要提取 $E_{k}$ 的第1,2,5列，则令 $Ω$ = [[1 0 0 … 0] [0 1 0 … 0] [0 0 0 0 1 0 … 0]]的转置。 $Ω$ 的(0,0), (1,1), (3,4)为1，其余困为0。

(3) 对 $E_{k}$ 进行SVD分解，即 $E_{k} = U Δ V^{T}$ ，令 $U$ 的第一列为 $d_{k}$ 的优化值， $V$ 的第一列( $V^{T} 的第一行$ )乘以第一个奇异值即 $Δ [0, 0]$ 作为 $x_{k}$ 的优化值。这里 $Δ [0, 0]$ 为一个常数，而非向量。关于SVD分解可以参考SVD分解

(4) 在所有原子向量都优化过后，判断是否达到停止条件，满足则退出优化，否则继续迭代系数矩阵及字典优化。
详细步骤如下图

问题与猜想

1 为什么不直接用SVD奇异值直接将样本矩阵分解出 $D X$ ?
猜想：样本矩阵巨大，运算量巨大，现有SVD接口以及机器设备难以维持？
但是采用K-SVD，在优化字典时，缩小 $E$ ，从而完成计算。
2 需要使用两步迭代优化的原因？
猜想：第一步初始化字典使用的随机样本，因为字典属于超完备字典，因此，中间存在重复列，或可以相互线性表示的列，因此需要优化字典。优化字典的时候，仅仅同时优化了系数矩阵对应行非0项，因此还需要单独的系数矩阵优化步骤，否则，从系数矩阵初始化之后，系数矩阵被优化的都是固定项。
3 选取 $U$ 的第一项作为 $d_{k}$ 优化值的原因：
猜想：矩阵经过奇异值分解后，奇异值的重要顺序是从上到下排列的，即靠前的都是比较重要的项，甚至有的矩阵的奇异值第一个远大于剩余的奇异值，则第一项以外奇异值相关的计算对逼近原矩阵的影响较小。
TIPS：
1 矩阵A左乘矩阵，即是对矩阵A的行向量线性组合生成新的矩阵
矩阵A右乘矩阵，即是对矩阵A的列向量线性组合生成新的矩阵
[x x x] * [x x x]T
2 SVD分解后，奇异值的大小反映了奇异矩阵的重要程度，则 $U$ 及 $V$ 的第一列重要，而奇异值则被用作系数。

参考文献

https://blog.****.net/chlele0105/article/details/16886795
https://blog.****.net/lanyanchenxi/article/details/50471698
https://blog.****.net/hjimce/article/details/50810129