压缩感知

-压缩感知相关知识

压缩感知（Compress Sensing）简单的理解就是将含有冗余信息（稀疏信号）的信号进行压缩（比如将含有多个零的矩阵进行去零操作；或者对于频域成分很少的通信信号摘除或者过滤掉此频率成分）。

压缩感知的由来：转变获得信号后再进一步压缩处理的传统压缩方式，直接在获得信号之初就将信号进行压缩变换，由此衍生压缩感知技术。

-压缩感知应用之一

—— 单像素摄像机（Single-pixel camera）

单像素摄像机是由Rice大学于2006年于[链接A New Compressive Imaging Camera Architecture using Optical-Domain Compressive]论文中首次发表的，利用压缩感知技术的成像设备。其主要特点是打破传统多像素感知器（CCD或CMOS）获取图像的方式，以单像素感知器结合DMD（Digital micro-mirror device, 数字微镜设备）达到数字成像的目的。

单像素相机成像原理

RICE大学发表的论文中讲解的原理图如下图所示:

试验设备主要由LED光源、识别物体、两个棱镜、光敏电路及DMD设备组成。

简单描述其原理：光源发出光线，经由识别物体的接收域反射通过棱镜1，光束变小投至DMD设备中，经过DMD中感知变换后（这部分在下面详解），再由棱镜2聚集，投至光敏二极管/光敏电路上，获得电压值。

不妨设 x$x$ 为原始图像信号（图像大小为 n$n$ x n$n$），y$y$ 为接收的向量信号，设备中的信号处理过程统设为Φ$\mathrm{\Phi }$,称之为“测量矩阵”：

其中，y$y$ 为M$M$ x 1$1$ 列向量，Φ$\mathrm{\Phi }$ 为M$M$ x N$N$ 矩阵(M<<N$M<<N$)，x$x$ 为N$N$ x 1$1$ 列向量。

原始信号恢复问题

压缩后的图像恢复可通过多种算法，根本问题就是解决：

也就是通常说的反演问题/逆问题（inverse problem).由相关线性代数的知识容易理解，将问题看线性方程求解，方程的个数小于未知数个数，则最终解不唯一或无穷个，也就是病态问题（ill-posed）.

DMD设备

DMD由一系列静电制动的微小镜片阵列组组成，每片镜片由单独的SRAM单元控制，可水平方向翻转正负12°，对应镜片的on(1)和off(0)状态，根据镜片角度的不同，到达棱镜1的光束与光强亦不同；这些微镜片阵列尺寸为1024 X 768（所测图像最大尺寸即为1024 X 768，但当下图形较多为等长宽，故实验中活动镜片数量一般达不到上限。）

*举个例子
假设团队需要对768 X 768 的图像进行测量，则DMD仅需要用到1024 X 768 阵列中的 768 X 768 个微电镜片； 接下来需要测量64 X 64 的图片，则可以以12 X 12块阵列以单位进行处理（768/64=12），也可以重新进行设置。

—-DMD图像处理原理—-

• 设定数据变量：
  
  1. x$x$: 原始图像对应的信号，大小为N$N$x1$1$的列向量。原始图像尺寸为n$n$ x n$n$, 且由N=n$N=n$ x n$n$.
  2. y$y$: 单像素相机测得的信号，大小为M$M$ x 1$1$的列向量。其中M$M$为单像素相机测试模式次数。
  3. Φ$\mathrm{\Phi }$: 测量矩阵，映射x$x$ 与 y$y$ 的关系。（y=Φx$y=\mathrm{\Phi }x$）

其中，φi${\phi }_i$为第i$i$次测量的模式基向量（由0、1或者1，-1构成的向量），大小为1$1$ x N$N$.（镜片阵列大小变换一下为行向量）

• 设置DMD的镜片模式基（basis）,考虑到实际中应用及方便性与本文以Hadamar矩阵为例。
  

Hadamar矩阵即为行列均正交的方阵,具有HH’=NI的良好性质（其中N’为H的逆矩阵，N为常数，I为单位方阵）；对H进一步元素进一步优化，会使得H在行列正交的基础上对称，则有H’=H，此时性质更新为HH=NI。
最简单的H矩阵为：

H=[111−1]$$H=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$$

以Hadamar矩阵为基对图像进行变换（编码）并进行恢复（解码）的过程称为Hadamar变换。

举个例子
以H$H$为Hadamar矩阵，X$X$为图像信号矩阵，F$F$为变换后的信号矩阵：
F=HXH$F=HXH$
HFH=HHXHH$HFH=HHXHH$
HFH=NIXNI$HFH=NIXNI$
HFH=NNX$HFH=NNX$
解码方式即为：(N$N$为常数)

X=HFH/N2$$X=HFH/N^2$$

以M$M$=333次测量大小为 64X64 = 4096个像素的图片为例，每次测量基底变换一次（Hadamar基底）：
第一次：图片经光反射通过棱镜1到达DMD，x.size=(n,n).reshape=(N,1)$x.size=(n,n).reshape=(N,1)$ , 则对y=Φx$y=\mathrm{\Phi }x$进行元素计算分析为：

y(MN)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢y(1)y(2)..y(M)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢φ1φ2φ3..φM⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[x1x2x3..xN]$$y_{(MN)}=\left[\begin{array}{c}y(1)\\ y(2)\\ .\\ .\\ y(M)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\\ {\phi }_3\\ .\\ .\\ {\phi }_M\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1{x}_2{x}_3..x_N\end{array}\right]$$

即y(i)=<x,φi>$y(i)=<x,{\phi }_i>$.

同理，经过M$M$次测量，可得到M$M$ x 1$1$大小的y$y$列向量.

具体内容待完善和整理。

参考文献：

1. Kitajima H, Shimono T, Kurobe T. Hadamard Transform Image Coding[J]. Bulletin of the Faculty of Engineering Hokkaido University, 1980, 101:39-50.
2. Laska J N, Wakin M B, Duarte M F, et al. A new compressive imaging camera architecture using optical-domain compression[J]. Proceedings of SPIE - The International Society for Optical Engineering, 2006, 6065:43–52.
3. Duarte M F, Davenport M A, Takhar D, et al. Single-Pixel Imaging via Compressive Sampling[C]// IEEE Signal Processing Mag. 2008:83-91.