浓度配比——值得用一辈子的小学方法

-1.pre前言

冠状病毒闹得人心惶惶

不怕，级部主任来支招(。・∀・)ノ

作业写着写着就不自觉的开始了研究……

于是就有了这篇文章(￣▽￣)"

0.前言

依稀记得五年级那节奥数课。

在刚刚经受过行程问题、牛吃草问题的折磨过后，浓度配比来了。

我问老师：“浓度配比真会拿来配溶液吗？”

老师笑了：“等你初三学了化学就明白了。”

然后……我就真的一直记着这个神奇的东西，就真的在初三用浓度配比爽了一把 （其实就2天而已，张阿姨并不提倡我用这方法）

所以学习浓度配比仅仅只是为了配个溶液吗？

这就得看你把啥当作溶液了……

1.浓度配比是啥？我没学过奥数！

那我们先从浓度配比讲起（*＾-＾*）

先上一道例题：

假设现在你要配制75%的酒精130g，给你足量的30%和95%的酒精来配制，请问各取多少克？

哎，简单，这波直接稀释公式mω=C……

停停停！这不是我们今天要讲的，况且我也懒得解方程。

让我们一起来配比O(∩_∩)O

Step1:浓度三角

这就是上面例题的浓度三角

什么，没看懂？上原理图！

一目了然（。＾▽＾）

好了，只要写三个数字、做两次减法、化简一下比例，答案就出来了。

30%酒精质量：m(30%)=$130*\dfrac 4 {4+9}$130∗4+94​=40g

95%酒精质量：m(30%)=$130*\dfrac 9 {4+9}$130∗4+99​=90g

并没有Step2

2.真有这么简单吗？

真的，真是这么简单。

在上面我们提到了解方程的方法，那么，浓度配比与之有没有什么千丝万履的联系呢？

下面，让我们从方程的角度解释这道题目。

首先，我们设30%的C2H5OH需要$x$xg，则95%的C2H5OH需要$(130-x)$(130−x)g。

那么，根据m(C2H5OH)一定，我们列式：$m_1ω_1+m_2ω_2=m_总ω_总$m1​ω1​+m2​ω2​=m总​ω总​_{(ω为质量分数)}

得到方程$30\%x+95\%(130-x)=130*75\%$30%x+95%(130−x)=130∗75%

由于浓度配比中我们实际上得到了$x$x与$130-x$130−x的比例关系，由此作为我们整理的依据：将$130$130拆为$x+(130-x)$x+(130−x)

于是方程变为$30\%x+95\%(130-x)=[x+(130-x)]*75\%$30%x+95%(130−x)=[x+(130−x)]∗75%

整理，得$(95\%-75\%)(130-x)=(75\%-30\%)x$(95%−75%)(130−x)=(75%−30%)x

即$x:(130-x)=(95\%-75\%):(75\%-30\%)$x:(130−x)=(95%−75%):(75%−30%)

这就揭示了浓度配比的本质：

利用两次减法快速求解形如$ax+b(p-x)=pc$ax+b(p−x)=pc的方程中$x:(p-x)$x:(p−x)的值​

真是美妙ε=ε=ε=(~￣▽￣)~

3.这么简单，除了配溶液还有啥用？

还真没别的用处……

而且只能配两种溶液组成的溶液……

不过，还记得上面提到的一段话吗？

所以学习浓度配比仅仅只是为了配个溶液吗？

这就得看你把啥当作溶液了……

a.抽象溶液

回想一下，还记得鸡兔同笼问题吗？

笼子里装了若干只鸡和若个只兔子，告诉你总头数和总脚数，让你求鸡有几何兔有几何。

咦？跑题了吧，这不是假设法吗。

别急，接着来想。如果我们把鸡、兔与鸡和兔各看作一种“溶液”，它的浓度定义为脚数/头数。

我们其实就要求鸡溶液和兔溶液的”质量“(头数)比。

(甚是搞笑。这都是我当时脑洞大开的产物，连老师都听笑了。）

不过，我们得到了如下重要定义：

抽象浓度：描述溶质和溶液总体性质的量，通常定义为特征值/需求量。

在本例中，鸡和兔的特征，即区别在于脚数不同，我们将它作为特征值；我们要求它们的头数，所以头数就是需求量。

甚是美妙。

仿照浓度定义，我们可以定义溶液质量和溶质质量。

溶液质量：溶液总体的度量。 溶质质量：溶质部分的度量。

同时具有溶液质量、溶质质量和抽象浓度的溶液，我们称之为抽象溶液。

有了抽象溶液，浓度配比的作用就发挥出来了。这也充分展现了浓度配比的灵魂，也是其最具挑战性的部分——抽象溶液的定义。

让我们来看几个实例。

b.实例

实例均以”抽象浓度定义+例题“的形式给出。

• 鸡兔同笼问题

  抽象浓度定义：脚数/头数

  例:有若干只鸡兔同在一个笼子里，共35个头和94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？

  ω(鸡)=2/1=2 ω(兔)=4/1=4 ω(总)=94/35

  问题转化为用浓度为2和4的溶液配制35g浓度为94/35的溶液，求溶液质量各为多少。

  画浓度三角：

  

  OK!鸡23只、兔12只，一目了然。

  不过也会有人盯着这个23：12发呆，这是什么的比值？

  先给出结论：浓度三角所得比值是需求量之比，话句话说，也就是定义在抽象浓度分母上的量之比。

  好记吧^_^

• 国王的皇冠问题

  就是八下物理中两个不同密度金属混合的问题啦。

  抽象浓度定义：质量/体积，就是大家熟知的密度

  例：有一个密度为$17g/cm^3$17g/cm3的金银首饰，已知金、银密度分别为$19g/cm^3$19g/cm3和$11g/cm^3$11g/cm3，求金的质量分数。

  ω(Au)=19/1=19 ω(Ag)=11/1=11 ω(总)=17/1=17

  问题转化为用浓度为19和11的溶液配制浓度为17的溶液，求溶质质量分数。

  画浓度三角：
  

  易知：ω(Au)=$\dfrac 3 {3+1}$3+13​=75%

• 化学反应混合问题

  就是一坨反应混在一起，求每个反应消耗了多少反应物。

  抽象浓度定义：生成物的某一特征/物质的量等，视具体情况而定

  例：一定质量Zn与1.8mol浓H2SO4反应，Zn完全溶解，生成标况下气体33.6L，求气体成分比。

  首先发现这是两个反应：

  Zn+2H2SO4(浓)==ZnSO4+SO2↑+2H2O (1)

  Zn+H2SO4==ZnSO4+H2↑ (2)

  观察方程式，找方程式的特征。为了方便，我们定义抽象浓度为方程式气体摩尔数/H2SO4摩尔数

  ω(1)=1/2 ω(2)=1/1=1 ω(总)=1.5/1.8=5/6

  剩下的尝试自己去解吧U•ェ•*U_{（答案：V(SO2):V(H2)=1:4）}

  (我不会告诉你，我就是做了这题想到来写文章的)

4.啧，这哪里值得用一辈子

其实，说到这里，你有没有发现，一个简单的操作，竟然有这么大的作用。

其实，这就是小学吧，化繁为简，却由浅入深，与万化冥合。

其实，这就是数学与人生吧。

浓度配比，由于与初中知识有着密不可分的联系，才有幸被铭记。我经常说，真的，学奥数不仅仅是为了升学，更多的真是一辈子的数学启蒙。

所以，如果能回到小学 ，一定要去尝试下微积分。

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嗯，本文内容到此就结束了。

如果对以上内容有什么问题的，欢迎评论。

总之，浓度配比还有很多很多实例，快去发现吧，你一定会收获满满的QωQ

创作不易，希望能对您有所帮助。