斯托克斯第一问题

斯托克斯第一问题

模型建立

假设有一块无限大的平板浸没在无界的静止流体中，突然以速度$U$U沿其自身所在的平面运动起来，并且一直保持速度的大小和方向不变。请求解平板起动后流体运动随时间的变化过程。

如图所示建立直角坐标系：

考虑NS方程：

$\rho \frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+\rho \vec{V} \cdot \nabla \vec{V}=-\nabla p+\rho \vec{g}+\mu \nabla^{2} \vec{V}$ρ∂t∂V​+ρV⋅∇V=−∇p+ρg​+μ∇2V

我们假定$U$U沿着$z$z方向，也就是说，$U$U只在$z$z方向的分量不为零。不难想到，板是拖着流体运动的，所以流体的速度$\vec V$V也只有沿$z$z轴方向的分量，不妨设为$u$u。所以我们只考查NS方程沿着$z$z方向的分量即可，即：

$\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial z}\right)=-\frac{\partial P}{\partial z}+\rho g_{z}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)$ρ(∂t∂u​+u∂z∂u​)=−∂z∂P​+ρgz​+μ(∂x2∂2u​+∂y2∂2u​+∂z2∂2u​)

考虑以下几点，对方程进行简化：

• 因为板是无限大的，我们假定在相同的$yz$yz平面内的速度是恒定的。故${\partial u}/{\partial z}=0,{\partial u}/{\partial y}=0$∂u/∂z=0,∂u/∂y=0。
• 同一水平高度，压强为0，所以没有压力项。
• 没有外力项。

所以根据这几点，上述方程可以约化为：

$\rho\frac{\partial u}{\partial t}=\mu \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ρ∂t∂u​=μ∂x2∂2u​

关于边界条件的提法，我们知道板接触面速度为$U$U，离板无穷远处的速度我们可以假设为0。因为流体刚开始是静止的，所以初值为0。故若令$a = \mu/\rho$a=μ/ρ，整个问题可描述为：

$\begin{array}{l}{\frac{\partial u}{\partial t}-a \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0} \\ {u(x, 0)=0, x \geq 0} \\ {u(0, t)=U, u(+\infty, t)=0, t>0}\end{array}$∂t∂u​−a∂x2∂2u​=0u(x,0)=0,x≥0u(0,t)=U,u(+∞,t)=0,t>0​

模型求解

考虑拉普拉斯变换：

$\hat u(x, s)=\int_{0}^{\infty} u(x, t) \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{d} t$u^(x,s)=∫0∞​u(x,t)e−stdt

对方程做拉普拉斯变换，可得：

$s \hat u(x, s)=a \frac{\mathrm{d}^{2} \hat u(x, s)}{\mathrm{d} x^{2}}$su^(x,s)=adx2d2u^(x,s)​

注意到，这里用到了初值条件，消掉了分部积分出来的一项。求解之，得到：

$\hat u(x, s)=c_{1} \exp \left(-\sqrt{\frac{s}{a}} x\right)+c_{2} \exp \left(\sqrt{\frac{s}{a}} x\right)$u^(x,s)=c1​exp(−as​​x)+c2​exp(as​​x)

对边值条件，做拉普拉斯变换，可得：

$\hat u(0, s)=\int_{0}^{\infty} U \mathrm{e}^{-s t} \mathrm{d} t=\frac{U}{s}$u^(0,s)=∫0∞​Ue−stdt=sU​

$\hat u(+\infty, s)=0$u^(+∞,s)=0

故$c_1 = U/s,c_2=0$c1​=U/s,c2​=0。

综上，可以得到拉普拉斯变换之后的解为：

$\hat u(x, s)=\frac{U}{s} \exp \left(-\sqrt{\frac{s}{a}} x\right)$u^(x,s)=sU​exp(−as​​x)

对拉普拉斯变换后的解，可得：

$\begin{array}{l}{u(x, t)=L^{-1}\left[\frac{U}{s} \exp \left(-\sqrt{\frac{s}{a}} x\right)\right]=} \\ {\frac{2 U}{\sqrt{\pi}}\left[\frac{\sqrt{\pi}}{2}+\int_{\frac{x}{2 \sqrt{m}}}^{0} \exp \left(-\eta^{2}\right) \mathrm{d} \eta\right]}\end{array}$u(x,t)=L−1[sU​exp(−as​​x)]=π​2U​[2π​​+∫2m​x​0​exp(−η2)dη]​

这里用到了一个高斯函数的积分公式：
$\int_{0}^{\infty} \exp \left(-\eta^{2}\right) \mathrm{d} \eta=\frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt \pi /2$∫0∞​exp(−η2)dη=21​Γ(21​)=π​/2