2.1 二分

2.1.1 举一个识别猫的例子

输入一个图片，判别有猫或无猫，这就是一个简单的二分分类。

为了将图片转换成一个特征向量，大家都知道图片由红绿蓝三个像素矩阵组成，假设这个

矩阵是64*64的，我们将之重构（Python里面是用reshape这个方法），将三个矩阵合并为一个

nx（nx即维度，nx=64*64*3）行1列的矩阵。

（x,y）表示一个单独的样本，假设有m个训练集，那m个训练样本就是

{（x(1),y(1)），（x(2),y(2)），...，（x(m),y(m)）}。

我们需要一个训练样本和一个测试样本，训练样本就是用来做训练得到合适的参数用的，而

测试样本则是在得到参数后进行测试。

在代码中我们可以用x_train表示训练样本，x_test表示测试样本。将m个训练样本合并到一起

成为一个大矩阵就得到了X，维度为nx*m，即X.shape=(nx,m)，同理，Y.shape=(1,m).

2.2 Logistic Regression(逻辑回归)

logistic回归就是一个二分分类（binary classification）算法。通过监督学习，输出为0或1的

一个算法。

2.2.1 logistics回归的模型

给出一个X，我们期望得到一个y帽，y帽就是一个概率值，代表是否有猫的概率。

Output的那个函数就是logistics回归的模型，那为什么不直接用一个线性的w^T*x+b

来表示呢，而要加一个σ呢，σ(z)=1/1+e^(-z),z即为w^T*x+b，这个就是sigmoid函数。

是因为加了以后很契合，当z很大时，σ(z)就很接近于1；而z很小时，σ(z)就很接近于0.

这和我们希望的一致。

2.2.2 Loss/error Function（损失/误差函数）---单个训练样本上的表现

我们不用方差来衡量这个损失，是因为在后面用梯度下降法时会出现很多局部最优解，而

我们希望的是有一个最优解。因此我们用上图的函数来替代，起到和方差一样的效果。即当

y=1时，想要损失函数尽可能的小，那么即要y帽尽可能的大，即最大为1，y=0时也是同理。

这个损失函数就是用来衡量输出值y帽和y之间的接近程度。

2.2.3 Cost Function（成本函数）---全体训练样本上的表现

成本函数就是将单个训练样本上的函数进行累加求平均。

2.2.4 损失函数和成本函数是怎么得到的呢？

前2行，if y = 1 和 y = 0的这2个条件概率公式很好理解。我们可以将其合并为第三个函数，

为什么这样合并是对的呢，当我们将y=1和y=0分别代入后，就会发现正好是第一行和第二行

的2个函数。我们希望其概率是最大的，由于log函数是单调递增的，我们对P（y|x）取对数，

就可以化简为ylogy帽+（1-y）log（1-y帽），这个就是损失函数的相反数，那么为什么损失

函数会有个负号呢，是因为虽然我们期望概率最大但是在logistics回归中我们想要损失最小化，

加了负号后就由单调增变为单调减了。这就得到了损失函数。

假设所有的训练样本都是独立同分布的，我们求其最大似然估计。就是要找到一组参数，使得

给定样本的观测值概率最大化。所有这些样本的联合概率就是将概率相乘，让这个概率最大化即让

这个概率的对数最大化（相关内容可以去看概率论与数理统计）。因此经过一系列化简后，我们可以

得到上图第三行的式子，即成本函数的相反数。为什么要去掉负号呢，因为我们虽然期望概率最大，

但是我们希望成本可以最小，因此，去负号后，成本函数就得到了。

2.2.5 计算导数（反向传播）

从左到右计算成本函数即是正向传播，那从成本函数即从右到左计算导数就是一个反向传播过程。

举个很简单的例子，假设J=3（a + bc），计算da，db，dc的过程就是一个反向传播过程。

而在代码中，约定俗成的规矩就是：dJ/da是J对a的导数，我们用da来表示；类似的dJ/db用db。

2.2.6 Gradient Descent（梯度下降法）

我们想要找到参数w，b，使得成本函数最小。函数是凹的，无论从哪点开始，最终应该都能达到

相似的一点去。从最初那点开始，朝最陡的方向下降，不断下降，直到最优，这就是梯度下降法。

w：代表更新w的操作；而α代表学习率，控制每一次迭代或梯度下降法中的步长。

经过n次迭代{w: w -α*dw ,b：b -α*db}就可以得到最优参数w，b。

2.2.7 单个样本的梯度下降

计算da，dz，dw，db，不断迭代w，b直到最优

2.2.8 m个样本的梯度下降

大体上跟单个样本相同，在最外围有个for循环，将m个样本的L（a，y），dz，dw，db累加，最终

求平均。然后就是迭代求w，b。这里有dw1，dw2，是由于有2个特征，如果有n个特征，那么就可以

for循环计算dw1，dw2……dwn。

2.2.9 vectorization（向量化）

为什么我们要向量化呢？因为一般的显示的for循环的效率要比较低，相对来说，向量化后运行的速度

更加快，下面看个简单的例子。

由上图可以看到，向量化的版本要比for循环快差不多300倍。

在深度学习中，用GPU加速计算，靠的是SIMD single instruction multiple data（单指令流多数据流），

GPU运算的很快，但其实CPU也还好，只是没有GPU那么快。

上图就是将8的版本向量化过后的版本。

2.2.10 总结

对于m个样本训练集，原先是这样的

我们将X用（nx，m）维矩阵表示，A用（1，m）维矩阵表示，Z用（1，m）维矩阵表示。即下图：

这里面有个比较重要的东西叫广播，在Z=np.dot(w.T,X)+b中，b是一个常数，

它是怎么能和向量运算的呢，这就是Python中的广播机制。它会自动将b扩展为对应得向量。

如前面w.T*X是（1，m）维，那它就会自动扩展为（1，m）维与之计算。

接下来是导数的计算:

最后，整理一下就是如下图的形式。

这样，我们最终得到了一个高度向量化的且非常高效的logistic回归的梯度下降。