MIT线性代数:2.矩阵消元
1.消元法
本课的核心是矩阵变化,也就是矩阵乘法
1.1消元
同样是矩阵表示系数
确定主元(0不能为主元),主元下方的元素消成0,例(2,1)过程,第二行减去三倍的第一行(相当于方程组第二个方程减去三倍的第一个方程),把(2,1)的值消成0,进而确定了(2,2)的元素为主元,同理第三行减去两倍的第二行把(3,2)消成0。消完元的矩阵称为U。
消元法失效的情况:当主元上为 0 时,就通过交换行将主元位置变为非 0,当通过交换行还不能解决 0 主元的时候,消元法就失效了。(不能解决 0 主元的矩阵是不可逆矩阵)。
1.2回代
把右侧b(也就是方程组的值)代入,该矩阵就叫增广矩阵。对应的消元完称为c。
回代步骤简单,把消元完的矩阵U,c带到原方程中,解得结果的过程叫回代。
2.消元矩阵
2.1消元基础
接下来用矩阵的形式进行消元:
矩阵右乘一列向量结果也是一列向量,
矩阵左乘一行向量,结果也为一行向量。
2.2消元矩阵(第一步)
矩阵乘以单位矩阵等于本身,上述变换针对的是(2,1)位置的值(要把它置为0),保留A的第一行与第三行不变,第二行减去三倍第一行,则根据矩阵乘法,则初等矩阵(E)的第二行就是(-3,1,0),进行-3*(1,2,1)+1*(3,8,1)+0*(0,4,1)的计算
达到了一个消元的作用。
2.3消元矩阵(第二步)
根据上述第一步的方法和结果,进行下一步的消元。
最后可以用这样的一个等式来描述矩阵消元的步骤,可以使用结合律但是不能使用交换律,因为矩阵左乘和右乘是有区别的。
2.4置换矩阵
2.4.1行交换
利用矩阵乘法进行行交换(左乘一个矩阵)
2.4.2列交换
利用矩阵乘法进行列交换(右乘一个矩阵)
置换矩阵用P(permutation)表示。
3.逆矩阵开题
结合上述例子逆矩阵就是下图右边的E可以使A变换成U,那么下图左边的E^-1就可以使U变回A。
E^-1*E=I(单位矩阵),则称E^-1和E互为逆矩阵