排列组合之N球放M盒问题
排列组合之N球放M盒问题
转自：http://azaleasays.com/2011/12/16/combinatorics-n-balls-in-m-boxes/
忍不了了，总会遇到类似的问题，这次竟然在AI期末考试中遇到。于是复制粘贴，来源在此，主要修改了中英文标点、大小写以及部分措辞，并重新排版。感谢不明的原作者。
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N球放M盒，其实有8种情况：
1. 球同，盒同，盒不可以为空
2. 球同，盒同，盒可以为空
3. 球同，盒不同，盒不可以为空
4. 球同，盒不同，盒可以为空
5. 球不同，盒同，盒不可以为空
6. 球不同，盒同，盒可以为空
7. 球不同，盒不同，盒不可以为空
8. 球不同，盒不同，盒可以为空
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1 2 类情况，穷举法。
例如7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个（1类情况），则先4个盒子每个放1个，多余3个。只需要考虑这3个球的去处就OK，由于盒子相同，所以只需要凑数就OK，不必考虑位置，因此只有300，211，111三种。
例如7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，则还是凑数，大的化小的，小的化更小的。
0007
0016
0025
0034
0115
0124
0133
0223
1114
1123
1222
11种。
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3 4 类情况，用插板法（隔板法）解决。
3 的公式是把 N 个球排成一排（一种方法），它们中间有 N-1 个空。取 M-1 个板，放到空上，就把它们分成 M 部分，由于板不相邻，所以没有空盒。它的方法数有C(N-1, M-1)
4 的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空盒，先在每一个盒里假装放一个球，这样就有 N+M 个球，C(N+M-1, M-1)
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球不同的情况里，先来分析最特殊的8号：N球不同，M盒不同，允许空。每个球都有M种选择，N个球就有 M^N 种分法。
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关于5 6 7 的情况，”我先教大家一个非常特殊的三角形，这个你在狗哥百度非常难以找的到的，秘传型，一般人我不会告诉他的。” (啊啊，可爱的原作者 —azalea注）
看起来很复杂，其实很简单：
性质1，左右两边都是1，第几行就有几个数，比如第5行就是1XXX1
性质2， S(N, K) = S(N-1, K-1) + K * S(N-1, K)，含义是第N排的第K个数等于他上一排的上一个位置数字加上一排的同样位置数字的K倍。
例如S(7, 3) 就是第7排第3个数字，所以他等于上排第6排第2个数字+第6排第3个位置*3。所以画图的话，明显第1排是1，第2排1，1，推理第3排（左右两边都是1，只有中间那个数字没确定）。
所以 S(3, 2) = 第2排第1个数字+第2排第2个数字两倍 = 1+1*2 = 3，所以第3排数字就是1，3，1。同理 S(4, 2) = S(3, 1) + 2*S(3, 2) = 1+2*3 = 7, … 如此类推。
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当遇见类型5即：N不同球，M同盒，无空盒。一共有 S(N, M) 种分法，比如7个不同球，4个相同箱子，每个箱子至少一个，则看三角形的第7行，第4个数字多少。
而类型6，N不同球，M同箱，允许空的时候（在类型5的基础上允许空箱）。明显是N个球不变，一个空箱子都没有+有一个空箱子+有两个空箱子+有三个空箱子+，，，，，，都装在一个箱子。说的简单点一共有就是
S(N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + … + S(N, M)
也就是说第N排开始第1个数字一直加到第M个数字就是总的分法。
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而类型7同样是在类型5的基础上升华，因为5是箱同的，而7箱不同，所以箱子自身多了P(M, M) = M! 倍可能，
所以类型7的公式就是 M! * S(N, M)
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总结：
N球M盒
1. 球同，盒同，盒不可以为空 穷举
2. 球同，盒同，盒可以为空 穷举
3. 球同，盒不同，盒不可以为空 C(N-1, M-1)
4. 球同，盒不同，盒可以为空 C(N+M-1, M-1)
5. 球不同，盒同，盒不可以为空 S(N, M)
6. 球不同，盒同，盒可以为空 S(N, 1) + S(N, 2) + S(N, 3) + … + S(N, M)
7. 球不同，盒不同，盒不可以为空 M! * S(N, M)
8. 球不同，盒不同，盒可以为空 M^N
附：
『原创』管中窥豹，8道排列组合题解析
1：8个相同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少的盒子取1，取球第二少的盒子可以取[1,3] 3种
取球最少的盒子取2，取球第二少的盒子可以取[2,3] 2种
取球最少的盒子取3，此情况不存在，一共5种
按取球多寡来分类讨论可以做到不遗漏，不重复
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2：8个相同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
插板法，c7 2=21
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4：8个不同的球放进3个相同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
取球最少盒子取1时，有116，125，134三种情况，分别有c8 6=28, c8 1*c7 2=168, c8 1*c73=280
取球最少盒子取2时，有224，233二种情况，分别有c82*c62/2=210，c83×c53/2=280
一共28+168+280+210+280=966
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3：8个不同的球放进3个不同的盒子里，每盒至少一个，有几种方法
4问中的966种情况，每种情况的三个元素都是互异的，比如 116（因为球是不同的），这三个元素进行全排列p33=6,乘以966=5796即为所求
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5：8个相同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
最少盒子取0，次盒子取[0,4]
最少盒子取1，次盒子取[1,3]
最少盒子取2，次盒子取[2,3]
一共5+3+2=10种
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6：8个相同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
预先在三个盒子种各放入一小球，则问题转化为11同球放3不同盒子，每盒至少1个，几种方法？ 用插板法，c10 2=45
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7：8个不同的球放进3个不同的盒子里，有几种方法
每个球都有3种选择，8个球就有3^8=6561
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8：8个不同的球放进3个相同的盒子里，有几种方法
7问中的一般情况(3个元素都相异），比如116，一共有6种排列（球是不同的），此问中，盒子是相同的，因此这6种排列都只算一种情况。
但如果2个元素相同的时候，有且只有 008，只有3种排列，我们多添加3种进去，令其也重复6次，则（6561+3）就是 所有的情况都重复了6次，（6561+3）/6=1094即为所求。