《Modern Robotics》阅读笔记1——刚体的运动（一）

一般而言，空间中的刚体运动有六个自由度，但我们描述刚体的运动常见做法是用$4\times4$4×4的变换矩阵，即用了16个元素加上10个约束，而不是就用6个量来表达。用16个元素加上约束的表示方法，叫做implicit representation（隐式表达），这种表达方法好处是没有奇异值。而相对的explicit representation（显式表达）只需要用6个量（比如欧拉角+三维位置矢量），但是有时会遇到奇异值的情况。而造成这种现象的本质原因来自于，代表刚体运动的六维空间并不是欧式空间，而是非欧空间。比如球面是二维面，因此两个量就能表达球面上的一点（经纬度法），但由于球面不是欧式平面，所以经纬度法会有奇点（球面的南北极坐标有无穷多种）。而如果用XYZ三维坐标来表达呢？就完全不会出现这种问题了。

这篇文章主要内容不是关于如何用变换矩阵表示刚体运动，而是用exponential coordinates（指数坐标）来表示。这种方式是比较新颖的，让我们先从二维平面运动开始。

刚体的二维平面运动

如何表达上图中{s}系和{b}系的关系是首先要解决的问题？

• {b}系的原点在{s}系下的表示：
  $p=p_x \hat{x}_s+p_y\hat{y}_s$p=px​x^s​+py​y^​s​
• {b}系的坐标轴在{s}系下的表示：
  $\hat{x}_b=\cos{\theta} \hat{x}_s+\sin{\theta} \hat{y}_s$x^b​=cosθx^s​+sinθy^​s​
  $\hat{y}_b=-\sin{\theta} \hat{x}_s+\cos{\theta} \hat{y}_s$y^​b​=−sinθx^s​+cosθy^​s​
  其中，$\hat{}$^ 代表单位向量。
  把上面的等式组织成矩阵的形式，$\{P,p\}${P,p}，
  $p=\left[\begin{matrix} p_x \\ p_y \end{matrix}\right]$p=[px​py​​]
  $P=[\begin{matrix} \hat{x}_b & \hat{y}_b\end{matrix}]=\left[ \begin{matrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{matrix} \right ]$P=[x^b​​y^​b​​]=[cosθsinθ​−sinθcosθ​]
  这样就表达了{b}系与{s}系的关系，$\{P,p\}${P,p}被叫做旋转矩阵和平移矢量。

$\{P,p\}${P,p}可以被用作为三个目的：

• （a）一个刚体的坐标系在{s}系下的表示
• （b）用于改变某个向量或者坐标系的参考坐标系（向量需要表示在参考坐标系下）
• （c）移动某个向量或者坐标系

除了用旋转+平移的方法来表达刚体运动，还有一种方法！
刚体的运动完全可以表达为绕一个固定轴的旋转。如下图：

上图中灰色的椭圆从{$c$c}系变到{$c^{'}$c′}系，即可以看做经过了平移和旋转（图(a)），也可以看做是绕s点旋转了90度（图(b)）。
这种运动可以叫做screw motion。表示为：
$(\beta,s_x,s_y)=(\pi/2,0,2)$(β,sx​,sy​)=(π/2,0,2)
其中，$(s_x,s_y)$(sx​,sy​)是旋转轴的位置，$\beta$β是角度。

另一种表达screw motion的方法是，将运动视作为由一个角速度和线速度运动一段给定的距离形成的。
在上面这个例子中，角速度假设为单位量，$\omega=1 \ rad/s$ω=1 rad/s 。那么我们根据这个运动的结果，很自然能够算出，坐标系原点的线速度是$v=(v_x,v_y)=(2,0)$v=(vx​,vy​)=(2,0)。所以，我们可以把两个速度放到一起，表示为：
$\mathcal{S}=(\omega,v_x,v_y)=(1,2,0)$S=(ω,vx​,vy​)=(1,2,0)
这也被叫做screw axis。（两个速度组成的向量，为什么叫axis呢？因为，线速度比上角速度就可以得到轴的位置，这个向量里已经隐含了轴的位置了。）
绕着这个screw axis，只需要旋转$\theta=\pi/2$θ=π/2就可以了。所以，我们最终可以把这个运动表示为：
$\mathcal{S}\theta=(\pi/2,\pi,0)$Sθ=(π/2,π,0)
注意，这里的表示方法和上面不一样了。我们称这种表示方法为，刚体运动的exponential coordinates（指数坐标）。

还有一种表达screw motion的方法，将运动视作为由一个角速度和线速度运动单位时间形成的。
进一步的，我们又定义twist的概念！
twist的定义如下：
$\mathcal{V}=\mathcal{S}\dot{\theta}$V=Sθ˙
其中，$\dot{\theta}=\theta$θ˙=θ，也就是说以$\mathcal{V}$V运动单位时间就可以表达运动了。
twist的概念很重要，之后将会一直用到，这和传统的旋转矩阵的表达方法不一样了。

本篇文章结束。

注：为了更好的阅读体验，避免文章过长，原本一章的内容被拆分成了多篇文章。