单车模型建模

车辆横向运动的运动学建模

汽车横向运动学建模学习笔记
其中X, Y表示车辆的位置， $\psi$ 表示车辆当前的heading 角， $\beta$ 表示车辆的滑移角，V表示当前的速度， $\delta_f, \delta_r$ 分别表示前轮和后轮的转向角度，为了简化模型， $\beta$ ， $\delta_r$ 一般当作0来处理，事实证明当汽车行驶速度比较小的时候，这个假设是合理的．

车辆的航向角 $\gamma = \psi + \beta$

对三角形OCA利用正弦定理可得： $\frac{sin(\delta_f-\beta)}{l_f} = \frac {sin({\frac{\pi}{2}-\delta_f)}}{R}$
对三角形OCB利用正弦定理可得： $\frac{sin(\beta-\delta_r)}{l_r} = \frac{sin(\frac{\pi}{2}+\delta_r)}{R}$
由上式展开可得： $\frac{sin(\delta_f)cos(\beta)-sin(\beta)cos(\delta_f)}{l_f}=\frac{cos(\delta_f)}{R}$
$\frac{sin(\beta)cos(\delta_r)-cos(\beta)sin(\delta_r)}{l_r}=-\frac{cos(\delta_r)}{R}$
将两式整理可得： $(tan(\delta_f)-tan(\delta_r))cos(\beta)=\frac{l_f+l_r}{R}$
$\beta = tan^{-1}(\frac{{l_f}tan\delta_r+l_r{tan\delta_f}}{l_f+l_r})$
因为车辆速度比较慢，所以转向半径变化比较慢，所以车辆方向变化率等于车辆的角速度，即 $\acute{\psi}=\frac{V}{R}$
$\acute{\psi}=\frac{Vcos(\beta)(tan(\delta_f)-tan(\delta_r))}{l_f+l_r}$
在X和Y方向的的方程分别为：
$\acute{X}=Vcos(\psi+\beta)$
$\acute{Y}=Vsin(\psi+\beta)$
在这个模型里面有三个输入： $\delta_f,\delta_r,V$ .速度V是一个外部变量，可以从纵向模型中得到，滑移角 $\beta$ 可以由前面的式子求得

阿克曼转向几何

汽车横向运动学建模学习笔记
令 $L=l_f+l_r$ ,由上面的式子简化可得： $\frac{\acute{\psi}}{V}=\frac{1}{R}=\frac{\delta}{L}$ ，第一步是由角速度乘以半径得到速度算得，第二步是简化上面的式子得到，由于L与R相差横多，所以 $\delta$ 比较小，此时有 $tan(\delta)=\delta$ ,最后推得 $\delta=\frac{L}{R}$
由于内轮和外轮是不同的，所以得到下式： $\delta_o=\frac{L}{R-\frac{l_w}{2}}$
$\delta_i=\frac{L}{R-\frac{l_w}{2}}$
$\delta=\frac{\delta_o+\delta_i}{2}=\frac{L}{R}$
最后推得： $\delta_i-\delta_o=\frac{L*l_w}{R^2}=\frac{{\delta^2}*l_w}{L}$

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