MVG读书笔记——射影几何下的二次曲线

双曲线、椭圆、抛物线等统称为二次曲线（或圆锥曲线），它其实是三维空间中圆锥在截面上的投影，如图

齐次坐标下的二次曲线表示

二次曲线的在欧氏空间的方程为

即一个二次多项式。

使用齐次坐标表示为

使用矩阵形式表示为
其中
显然，一个二次曲线有5个自由度，5点确定一条二次曲线。

二次曲线的切线

二次曲线在其上一点x处的切线为

极线

平面上任意一点和二次曲线可以定义一条直线l=Cx$l=Cx$，这条直线称为x之于C的极线。x称为l之于C的极点。如图,

过x作C的切线刚好落在极线上。

极线上满足yTCx=0$y^{T}Cx=0$的点y称为x之于C的共轭点。相应的，x也在y之于C的极线上。

退化

可以看到二次曲线的矩阵表示实际上是一个二次型，当C不是满秩的时候，二次曲线发生退化。此时二次曲线的形状可能为两条（秩为2）或一条直线（秩为1）

一个退化为两条直线的二次曲线方程为C=lmT+mlT$C=l{m}^T+m{l}^T$。证明如下：

对l上的一点x，它满足xTCx=(xTl)(mTx)+(xTm)(lTx)=0$x^{T}Cx=(x^{T}l)(m^{T}x)+(x^{T}m)(l^{T}x)=0$。故x在曲线C上。

对偶二次曲线

之前讲到射影几何中点与直线具有对偶性。由此我们可以定义出二次曲线（或者叫点二次曲线）的对偶曲线，称为线二次曲线。正如点二次曲线是无数点的集合，线二次曲线是无数线的集合

我们还是可以用一个3×3$3\times 3$的对称矩阵来C∗$C^{\ast }$来表示它。C∗$C^{\ast }$为C的伴随矩阵。与线二次曲线相切的直线满足lTC∗l=0$l^T{C}^{\ast }l=0$。在满秩的情况下有C∗=kC−1$C^{\ast }=k{C}^{-1}$

线二次曲线可以很简单的由点二次曲线推导出来。由上面所说，点二次曲线C在x处点切线为l=Cx。相反的，我们可以得到C与直线l相切于x=C−1l$x=C^{-1}l$。于是由xTCx=0$x^{T}Cx=0$我们得到(C−1l)TC(C−1l)=lTC−1l=0$(C^{-1}l{)}^{T}C(C^{-1}l)=l^T{C}^{-1}l=0$。即线二次曲线的方程。

如图为一个对偶二次曲线的直观表示。它包住了点圆锥曲线所在的区域。

在退化情况下，一个对偶二次曲线可以由两点确定，即