1、概论

• 研究目标：
    在数字通信系统中，信源是信息的来源，但是信源输出的是消息，以消息的形式来表达所要传送的消息。信源编码将消息转换成二进制数字信号序列。此信息序列要经过通信信道将信号波形从发端传到收端，在收端进行反变换，从而将信息从信源送到信宿。
  

图1.1 数字系统通用模型   基带信道适合于传送脉冲波形，所以将数字基带信号通过基带信道传输的系统称为数字基带传输系统。在数字基带传输系统中，确定信号在受到加性高斯白噪声干扰下的最佳接收为采用匹配滤波器，使得在最佳采样时刻的信噪比最大，然后再选择合适的判决门限进行判决，可以使得误比特率最小。在实际数字通信系统中的信道往往是有限的，因此发送器和接收器需要选择，本文采用基于无码间干扰基带传输的升余弦滤波器。

• 研究方法：
    建立数字传输系统，通过理论计算分析与matlab工具模拟，对比误码率得出结论。
• 主要内容：
    信道带宽无限时的单极性基带传输、信道带宽受限时的双极性基带传输、信道带宽受限时QPSK传输、信道带宽受限时16QAM传输

2、系统模型与误码分析

2.1 信道带宽无限时的单极性基带传输

信道带宽无限，发送滤波器波形可以选择矩形波；信号波形选择为单极性不归零码。

图2.1.1 发送滤波器冲激响应

图2.1.2 信号时域波形

$s_i(t)= \begin{cases} A, & {i=1} \\ 0, & {i=2} \end{cases}$si​(t)={A,0,​i=1i=2​

匹配滤波器的冲激响应与发送滤波器相同，接收模型为：

图2.1.3 接收模型

$r_i(t)=s_i(t)+n_w(t)$ri​(t)=si​(t)+nw​(t)
假设发射的是$s_1(t)$s1​(t)，则匹配滤波器的冲击响应为$h(t)=s_1(T_b-t)$h(t)=s1​(Tb​−t)与$s_1(t)$s1​(t)相匹配

$r_1(t)=s_1(t)+n_w(t)$r1​(t)=s1​(t)+nw​(t)
通过匹配滤波器之后
$y_1(t)=\int_0^t {r(\tau)\cdot h(t-\tau)} \,{\rm d}\tau=\int_0^t {s_1^2(\tau)} \,{\rm d}\tau+\int_0^t n_w(\tau)\cdot{s_1(\tau)} \,{\rm d}\tau$y1​(t)=∫0t​r(τ)⋅h(t−τ)dτ=∫0t​s12​(τ)dτ+∫0t​nw​(τ)⋅s1​(τ)dτ
在$T_b$Tb​时刻的采样值为
$y_1(T_b)=\int_0^{T_b} {s_1^2(t)} \,{\rm d}t+\int_0^{T_b} n_w(t)\cdot{s_1(t)} \,{\rm d}t$y1​(Tb​)=∫0Tb​​s12​(t)dt+∫0Tb​​nw​(t)⋅s1​(t)dt
画出概率密度函数图
$y_1(t)$y1​(t)均值为$E_b$Eb​,方差为$\frac {N_0E_1} {2}$2N0​E1​​
$y_2(t)$y2​(t)均值为0，方差为$\frac {N_0E_1} {2}$2N0​E1​​

图2.1.4 采样值的概率密度函数以及判决门限

判决门限$V_T$VT​为$\frac {E_1} {2}$2E1​​，系统的平均误码率为$E_b=\frac {E_1} {2}\qquad p_e=Q({\frac {E_b} {\sqrt \frac {N_0E_1} {2}}})=Q(\sqrt {\frac {E_b} {N_0}})$Eb​=2E1​​pe​=Q(2N0​E1​​​Eb​​)=Q(N0​Eb​​​)

2.2信道带宽受限时的双极性基带传输

信道带宽受限时，发送滤波器应为基于无码间干扰基带传输的升余弦滤波器。双极性序列：$a_i= \begin{cases} A, & {i=1} \\ -A, & {i=2} \end{cases}$ai​={A,−A,​i=1i=2​

图2.2.1 升余弦滤波器的脉冲响应

图2.2.1 升余弦滤波器的频率

该滤波器的带宽为$B=\frac {1+\alpha} {2}r_s$B=21+α​rs​
其信号接收模型和信道带宽无限时的单极性基带传输的相同

图2.2.2 接收模型

该系统的传输与上一种系统的类似，不过发送滤波器发生了改变
$r(t)=s_i(t)+n_w(t)$r(t)=si​(t)+nw​(t)，通过匹配滤波器之后:
$y_1(t)$y1​(t)均值为$E_b$Eb​,方差为$\frac {N_0E_b} {2}$2N0​Eb​​
$y_2(t)$y2​(t)均值为$-E_b$−Eb​，方差为$\frac {N_0E_b} {2}$2N0​Eb​​
此时的判决门限变为$V_T=0$VT​=0,平均误码率为$E_b=E_1\qquad p_e=Q({\frac {E_b} {\sqrt \frac {N_0E_1} {2}}})=Q(\sqrt {\frac {2E_b} {N_0}})$Eb​=E1​pe​=Q(2N0​E1​​​Eb​​)=Q(N0​2Eb​​​)

2.3信道带宽受限时QPSK传输

信道带宽受限，发送滤波器仍然选择升余弦滤波器
QPSK称作四进制移相键控，该信号的正弦波有4个可能的离散相位状态，每个载波相位携带两个二进制符号，其信号表达式为$s_i(t)=Acos(w_ct+\theta _i) \qquad i=1,2,3,4$si​(t)=Acos(wc​t+θi​)i=1,2,3,4

图中显示了两种离散相位的选择
进一步将$s_i(t)$si​(t)写为$s_i(t)=\frac {A} {\sqrt{2}}[I(t)cosw_ct-Q(t)sinw_ct]$si​(t)=2​A​[I(t)coswc​t−Q(t)sinwc​t],其中$I(t)=\pm1,Q(t)=\pm1$I(t)=±1,Q(t)=±1
他的发送模型为(相位选择$\frac { \pi}{4}$4π​)

图2.3.1 发送模型 QPSK信号可以看为同相及正交支路2PSK的叠加，所以在解调时可对两路信号分别进行2PSK解调，然后进行串并变换，得到输出数据。系统的接收仍然采用匹配滤波器

图2.3.2 接收模型

对于QPSK而言，在QPSK与2PSK的输入二进制信息速率相同，二者的发送功率相同，加性噪声的单边功率谱密度$N_0$N0​相同的情况下，QPSK与2PSK的平均误比特率是相同的$E_b=E_1\qquad p_e=Q({\frac {E_b} {\sqrt \frac {N_0E_1} {2}}})=Q(\sqrt {\frac {2E_b} {N_0}})$Eb​=E1​pe​=Q(2N0​E1​​​Eb​​)=Q(N0​2Eb​​​)

2.4信道带宽受限时16QAM传输

带宽受限，发送滤波器仍然使用升余弦滤波器
16QAM是由两个正交载波的多电平振幅键控信号叠加而成的，它与MPSK的不同之处在于两个之路的多电平幅度序列是独立的
16QAM信号表示为$s_{QAM}(t)=a_{i_c}g_T(t)cosw_c(t)+a_{i_s}g_T(t)sinw_c(t)\qquad i=1,2,3......16$sQAM​(t)=aic​​gT​(t)coswc​(t)+ais​​gT​(t)sinwc​(t)i=1,2,3......16
其中{$a_{i_s}$ais​​}、{$a_{i_c}$aic​​}是一组离散电平的集合，$g_T(t)$gT​(t)基带成形滤波器的冲激响应。

图2.4.1 16QAM信号的空间图

图2.4.2 16QAM信号发射模型

接收端仍然采用匹配滤波器：

图2.4.3 16QAM信号接收模型

分析误码率时，可将两路4进制ASK分开计算。$P_4$P4​表示4进制ASK支路的误码$P_4=\frac{3}{4}[2Q(\sqrt {\frac {d^2_{min}} {2N_0}})]$P4​=43​[2Q(2N0​dmin2​​​)]率。那么，16QAM的正确判决符号的概率为$P_c=(1-P_4)^2$Pc​=(1−P4​)2从而推出$P_e=1-P_c=2P_4-P^2_4$Pe​=1−Pc​=2P4​−P42​