第六章 计算机的运算方法 6.1&6.2
计算机组成原理——数字
计算机中数的表示
计算机的运算方法
运算器的设计
第六章 计算机的运算方法
6.1无符号数和有符号数
一、无符号数
没有正负号
寄存器位数，反映无符号数的表示范围
如8位，表示范围00000000—11111111 即0–255
二、有符号数
有正负号，保存两部分，符号部分和数值部分
1.机器数与真值
保存在计算机当中的这些数叫机器数，真值就是平时用的数据的真实的值
真值:带符号的数 机器数：符号数字化的数
如真值：+0.1011
机器数：
在计算机当中没有专门的硬件表示小数点，计算机中的小数点都是以约定的方式给出
如真值：-1100
机器数：
2.原码表示法
规则：机器数的最高一位表示符号，“0”表示正号；“1”表示负号，后面各位用数的绝对值表示。
定点整数的原码形式为X0X1X2……Xn
X0是符号位
X为真值
N为整数的位数
原码表示整数，其实是带符号的绝对值表示
定点小数的原码形式为X0X1X2……Xn
X0为符号位
X为真值
这个数据存储在计算机当中的话，无论是整数的逗号还是小数的小数点，都是不需要存储的，仅仅是人阅读方便
原码表示法优缺点：
简单直观
同样是加法的过程，如果用源码表示的话，可能是做加法也可能是做减法（有一个数为负，即为做减法），这对运算器来说太麻烦
能否只做加法？
找到一个与负数等价的正数 来代替这个负数，就可使 减—>加
3.补码表示法
一个负数加上“模”即得负数的补数
一个正数和一个负数互为补数时，
它们绝对值之和即为模数
整数的补码表示法：
X为真值
n为整数的位数
如+1010，计算机在存储时，字长为5位，数值是4位，符号位是1位
【X】补=0,1010
X=-1011000，设计算机在存储时字长为8位的，其中有一位是符号位
【X】补=2^(7+1)+（-1011000）=1，0101000
小数的补码表示法：
X为真值，2为模数
X=0.1110
[X]补=0.110
X=-0.1100000
[X]补=2+（-0.1100000）=1.0100000
求补码的快捷方式：
真值为负的数，符号位不变，数值位每一位取反后加一
4.反码表示法：
整数：
小数：
X为真值，n为数值位数
快速方式：负数的数值位按位取反
5.三种机器数小结：
最高位为符号位，书写上用“，”（整数）或“.”（小数）将数值部分和符号位隔开
对于正数。原码=补码=反码
对于负数，符号位为1，数值部分反码按位取反，补码按位取反后加1
数值0的补码表示唯一，原码反码不唯一
6.移码表示法
因为补码表示很难直接判断其真值大小
移码定义：
移码对正数还是负数不做要求，没有区别，真值加2^n即为移码
X为真值，n为整数的位数
移码在数轴是上的表示：
X=10100
【X】移=2^5+10100=1,10100
X=-10100
【X】移=2^5-10100=0,01100
移码注意：
①不管是正数还是负数，都是加2^n，把真值变换成移码
②只有整数形式的定义，没有小数形式的定义，这与移码在计算机的数据表示当中的作用有关，移码通常用来表示浮点数据表示的阶码部分，阶码都是整数
7.移码和补码的比较：
移码和补码只差一个符号位,数值位部分完全相同
如：设 x = +1100100，
[x]补 = 0,1100100
[x]移 = 2^7+ 1100100=1,1100100
设 x = –1100100
[x]补 = 1,0011100
[x]移 = 2^7– 1100100=0,0011100
从逻辑实现上讲，只用给数值部分加非门
0的移码唯一
最小真值的移码为全0
如：当n=5时，最小的真值为-2^5=-100000
[-100000]移=2^5-100000=000000
6.2数的定点表示和浮点表示
一、定点表示
小数点按约定方式标出，计算机中没有专门的硬件来表示小数点
定点机：小数定点机、整数定点机
定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。通常将数据表示成纯小数或纯整数
定点数x＝x0x1x2…xn 在定点机中表示如下(x0表示符号位，0代表正号，1代表负号)
定点整数的表示范围：
定点小数的表范围：
二、浮点表示
任意一个十进制数N可以写成:
一个任意进制数N可以写成:
其中： N为浮点数；M为浮点的尾数（纯小数，绝对值<=1）
e为阶码（浮点指数，整数）；
R尾数的基数（常数，一般为2、8、16）
当R=2时，
N=11.0101
=0.1101012^10（10是二进制表示）
=1.101012^1
=1101.012^（-10）
=0.001101012^100
计算机中M是小数，可正可负，e是整数，也可正可负
浮点数: 是指小数点可浮动的数据。
1.浮点数的表示形式
浮点数的机内表示形式：
Ms 是尾数的符号位, 设置在最高位上。数据本身的符号
Ms=0表示正号; Ms=1表示负号。
M为尾数, 有m位, 由Ms和M组成一个定点数。
E 为阶码, 有n+1位，在E的最高位设为符号位，
以表示正阶和负阶。阶码的小数点，在数值部分的最后
2.浮点数的表示范围
上溢、最小负数（负数区）最大负数、下溢、最小正数、（正数区）、最大正数、上溢
最小负数:[-2（2m-1）]*(1-2^-n)
最大负数：[-2-(2m-1)]*2^-n
最小正数：[2-(2m-1)]2^-n
最大正数：[2(2m-1)](1-2^-n)
m阶码位，n尾数位
若设m=4,n=10则：
最小负数:（-215）*(1-2-10)
最大负数：（-2-15)*2-10
最小正数：2-15*2-10
最大正数：215*(1-2-10)
此题的方式一共是16位长度表示浮点数，其中1位表示阶符。1位表示尾符，4位表示阶码，10位尾数的数值部分，能够表示的二进制数的个数是2^16
上溢：阶码>最大阶码 计算机按出错处理
下溢：阶码<最小阶码 按机器零处理
练习：设机器字长为24位，欲表示±3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1位外，阶码、尾数各取几位？
因为214=16384,215=32768
所以如果是定点数
15位二进制数可反映±3万之间的十进制数
(2^15)0.……
M=4,5,6……
保证最大精度可取m=4,n=18
3.浮点数的规格化形式
为什么对浮点数进行规格化，作用是尽可能保证数据的精度
r=2(尾数的基数是2的话），进行规格化（则小数点后面）尾数的最高位为1，这个1是指它的真值
r=4（若尾数采用4进制，2位二进制数表示1位4进制数），进行规格化，尾数的最高2位不全为0
r=8,尾数的最高三位不全为0
因此尾数的基数不同，浮点数的规格化形式不同
4.浮点数的规格化
r=2,进行规格化
左规：尾数左移1位，阶码减1
右规；尾数右移1位，阶码加1
r=4,进行规格化
左规：尾数左移2位，阶码减1
右规；尾数右移2位，阶码加1
r=8,进行规格化
左规：尾数左移3位，阶码减1
右规；尾数右移3位，阶码加1
通过阶码左移右移和阶码的加减，来保证浮点数的真实值不发生变化
基数对浮点数有什么影响？
基数r越大，可表示的浮点数的范围越大
基数r越大，浮点数的精度降低
举例：
将+19/128写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。其中数值部分均取10位，数符取1位，浮点数阶码取5位（含1位阶符），尾数规格化
解：设x=+19/128
二进制形式 x=0.0010011
定点形式：x=0.0010011000
浮点规格化形式; x=0.10011000002^-10
10是2进制的4
定点机中：【x】原=【x】补=【x】反=0.0010011000
浮点机中：
【x】原=1,0010；0.1001100000
【x】补=1,1110；0.1001100000
【x】反=1,1101；0.1001100000
例：将-58表示成二进制定点数和浮点数，并写出它在定点机和浮点机中的三种机器数及阶码为移码、尾数为补码的形式（其他要求同上例）
解：设x=-58
二进制形式：x=-111010
定点表示：x=-0000111010
浮点规格化形式：x=-(0.1110100000)*2^110
定点机中：
【x】原=1,0000111010
【x】补=1,1111000110
【x】反=1,1111000101
浮点机中：
【x】原=0,0110；1,1110100000
【x】补=0,0110；1,0001100000
【x】反=0,0110；1.0001011111
【x】阶移、尾补=1,0110；1,0001100000
特例：机器零
当浮点数尾数为0时，不论其阶码为何值按机器零处理
当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小值时，不论尾数为何值，按机器零处理
如m=4,n=10
当阶码和尾数都用补码表示时，机器零为
……，……；0，0……0
1,0000；……，……（阶码=-16）
当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零
0,0000；0,00……0
有利于机器中“判0”电路的实现
三、IEEE 754标准
浮点数：
短实数、长实数
临时实数：
符号位1，阶码15，尾数64，总位数80
尾数用规格化表示
非0的有效位最高位为1（隐含）