数学基础4 Euler函数二次剩余米拉质数测试波拉德的罗类欧几里得算法 Stern-Brocot树

主要写于2018.9

欧拉函数

奇偶性

$2|\varphi(n)\Leftrightarrow n =\not 2$

约数拆分

$\varphi(pq)=\frac{\varphi(p)\varphi(q)\gcd(p,q)}{\varphi(\gcd(p,q))}$

互质的数的和

比 $n$ 小的与 $n$ 互质的数的和为 $n\cdot \frac{\varphi(n)}{2}$ 。

证明：满足条件的数是成对出现的，可分为 $\frac{\varphi(n)}{2}$ 组，每组和为 $n$ 。

反演性质

$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

Miller-Rabin 质数测试

二次探测定理

模 $n$ 意义下若存在 $a^k=\not 1$ 且 $a^k=\not n-1$ ，满足 $a^{2k}=1$ ，则 $n$ 不是质数。

欧拉定理推论（费马小定理）

若 $n$ 是质数，则对于任意 $a(n\nmid a)$ ， $a^{n-1}= 1\pmod n$ 。

算法

将 $n-1$ 分解为 $u\cdot 2^t(2\nmid u)$ 。每次在 $[1,n-1]$ 中随机 $a$ 作底数（即上面提到的 $a$ ），枚举 $2$ 的指数做二次探测定理，再做费马小定理，若是合数则可以直接判断，否则有一定概率是质数。实验证明对于数量为 $10^5$ 级别的询问随机 $8$ 次即可保证通过。

Pollard’s Rho 分解大数

生日悖论

不停地在 $[1,n]$ 中取随机数，会在 $O(\sqrt n)$ 次第一次重复。

算法

若 $\gcd(\mathrm{abs}(x-y),n)=\not 1$ ，则找到一个因数。

设 $x_0=C$ ， $x_i=x_{i-1}^2+c(i>0)$ ， $y_i=x_{2^{\lfloor\log_2x\rfloor}}$ 。这样枚举 $i$ ，若 $\gcd=\not1$ 则找到，若 $x=y$ 则找不到。

于是每次随机 $C$ 和 $c$ ，可证明期望 $O(\sqrt p)$ 次可找到一个大小为 $p$ 的因数。

二次剩余

欧拉准则

模 $p$ 意义下， $a$ 是二次剩余等价于 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1$ ， $a$ 不是二次剩余等价于 $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1$ 。

Cipolla算法

若 $a^2-n$ 不是二次剩余，则 $n$ 的二次剩余是 $(a+\sqrt {a^2-n})^\frac{p+1}{2}$ 。可证明答案中根号项的系数为 $0$ 。

随机 $a$ 即可。时间复杂度为 $O(\log^2 p)$ 。

类欧几里得算法

(2019.4)

$f$ 函数

$f(n,a,b,c)=\sum_{i=0}^{n}\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor$

其中 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 均为整数。

如果 $a\ge c$ 或 $b\ge c$ 则可以先分离一部分。否则将后面展开然后交换和号再化简得到 $f(n,a,b,c)=nm-f(m-1,c,c-b-1,a)$ ，其中 $m=\frac{am+b}{c}$ 。

$f_{p,q}$ 函数

$f_{p,q}(n,a,b,c)=\sum_{i=0}^{n}i^p\lfloor\frac{ai+b}{c}\rfloor^q$

如果 $a\ge c$ 或 $b\ge c$ 则可以先分离一部分，用二项式定理，转化为求 $p$ 、 $q$ 更小的函数值。否则过程差不多。要用精彩变换（fjzzq2002©） $x^k=\sum_{i=0}^{x-1}(i+1)^k-i^k$ 。

SB树

数学基础4 Euler函数二次剩余米拉质数测试波拉德的罗类欧几里得算法 Stern-Brocot树
*from https://en.wikipedia.org/wiki/Stern–Brocot_tree

可用于在分数域上二分。

威尔逊定理

4.26
$(p-1)!\equiv p-1\pmod p$

数学基础4 Euler函数 二次剩余 米拉质数测试 波拉德的罗 类欧几里得算法 Stern-Brocot树