参考资料：电子工业出版社的《深入浅出统计学》

前言

当一个问题使用二项分布和泊松分布的计算量都过大时，可以考虑尝试用正态分布进行近似求解。

具体内容

一、正态分布的复合

1、X+Y的复合

在研究综合正态变量的时候，想办法求出X+Y的分布是十分有用的。如果独立随机变量X和Y均符合正态分布，那么可以得知X+Y也一定符合正态分布。在两个变量相加之后，实际上会增大了变异性，因此新分布的方差会增大，图形拉长，而为了保持图形总面积始终为1，因此图形同时也随之变扁。

2、X-Y的复合

有时候我们并非要求X+Y的概率，而是求X-Y的概率。如果独立随机变量X和Y均符合正态分布，那么可以得知X-Y也一定符合正态分布。但值得注意的是，尽管我们用X-Y，但实际上变异性仍然如X+Y一般增大了。

二、复合与线性变换的区别

1、线性变换

1、线性变换描述的是概率分布中的数值在大小方面的基本变化，比如我们想算的是4个成年人的体重导致翻车的概率，而不是一个成年人的体重翻四倍导致翻车的概率。值得指出的是，选择不同的方法解释——复合或者线性变换，会导致计算结果出现差异。

2、如果我们有一个X的线性变换aX+b，其中若X为正态分布——X~N($\mu,\delta^2$μ,δ2)，那么aX+b也属于正态分布。

2、复合

当我们实际需要计算的是4位成年人的综合体重的概率分布，而不是对某一成年人的体重进行变换时，可以采用复合。

三、用正态分布近似二项分布

1、基本条件

当二项分布的形状看上去和正态分布的形状十分相似，那么在这种情况下，我们可以用正态分布代替二项分布。更加细致化的话，一般来说，当np和nq双双大于5时，可用正态分布近似代替二项分布。

2、注意事项

我们通过二项分布X~B(12，0)求P(X <a)的概率，若直接将二项分布转化成其对应的正态分布X~ N(6，3)，，用二项分布计算的结果是0.387，用正态分布计算的是0.5，此时将发现近似结果出现较大的误差。这主要是因为前者是离散分布，而后者是连续分布。
因此我们在进行近似计算时，需要先考虑连续性修正，比如修改为求P(X<5.5)，此时结果为0.3859，非常近似二项分布的结果。

3、二项分布的近似方法的选择

如果X~B(n,p)，当np>5且nq>5时，使用正态分布近似代替二项分布。
如果n>50且p<0.1，则可以使用泊松分布近似代替二项分布。

四、用正态分布近似泊松分布

1、基本条件

当$\lambda$λ很小时，泊松分布的曲线左偏，与正态分布对称的曲线不符，因此不适用。一般而言，如果X~Po($\lambda$λ)且$\lambda$λ >15，我们就能用X~N($\lambda$λ,$\lambda$λ)来近似计算。

2、注意事项

和正态分布近似二项分布一般，也需要先进行连续型修正才行。