《数学女孩》 读书笔记 Part 1 of 5

1. 概述

1.1. 内容简介

《数学女孩》以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探索数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的初等数学科普书”。内容涉及数列和数学模型、斐波那契数列、卷积、调和数、泰勒展开、巴塞尔问题、分拆数等，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读¹。

1.2. 作者简介

作者结城浩，日本资深技术作家和程序员。二十年来笔耕不辍，在编程语言、设计模式、数学、密码技术等领域，编写著作三十余本。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》等¹。

1.3. 人物简介

1. 我：书中的主角，以第一人称视角对故事进行叙述，本文为了方便写作，下面就用男主来指代主角了。男主是一名高二学生，不喜欢运动，也没什么朋友，最喜欢的就是展开数学公式，总是在图书室一个人面朝笔记本写写算算。
2. 米尔嘉：数学学霸，年级数学第一，但总分是第二，落后于都宫。高一与男主结识，两人经常一起讨论数学问题，经常用一流的解法打动男主。
3. 泰朵拉：数学一般的活力少女，和男主在同一所初中毕业，比男主小一届，所以是高一学生，平时经常向男主发问。
4. 都宫：年级第一，擅长体育，在书中出现较少。
5. 村木老师：知识渊博的数学老师，有时候会给男主和米尔嘉出题，让他们自由思考。
6. 盈盈：钢琴爱好者协会“最强音”的会长，偶尔会和米尔嘉一起练琴。

2. 第1章 数列和数学模型

2.1. 故事情节

本章主要介绍了男主和米尔嘉的相遇过程，米尔嘉给男主念了几个数列，被男主接上了，两人就像对上了暗号，确认过眼神，都是搞数学的人。

2.2. 数列智力题没有正确答案

数列题提供的有限的几个数字，而数列本身是无限延续的，就像看起来很简单的$1, 2, 3, 4 ,\cdots$1,2,3,4,⋯这样的数列，我们很自然地会想到下一个数应该是$5$5，但其实后面的数也可以是$10, 20, 30, 40,\cdots$10,20,30,40,⋯满足下面的表达式

$a_n = [((x-1) \mod 4 ) + 1] * 10^{\lfloor(x / 4) \rfloor} , (n \in N_+) \tag{1.1}$an​=[((x−1)mod4)+1]∗10⌊(x/4)⌋,(n∈N+​)(1.1)

我们无法发现数列的规律，真正的数列模型是一眼看不出来的。如下面这个数列

$1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, \cdots$1,2,3,4,6,9,8,12,18,27,⋯

其答案可能是这样的

${\underbrace{2^0 3^0}_{\text{指数之和为0}}}, {\underbrace{2^1 3^0, 2^0 3^1}_{\text{指数之和为1}}} , {\underbrace{2^2 3^0, 2^1 3^1, 2^0 3^2}_{\text{指数之和为2}}} , {\underbrace{2^3 3^0, 2^2 3^1, 2^1 3^2, 2^0 3^3}_{\text{指数之和为3}}} , \cdots$指数之和为02030​​,指数之和为12130,2031​​,指数之和为22230,2131,2032​​,指数之和为32330,2231,2132,2033​​,⋯

这就引出了后面的质数分解问题，即书中所说的“世界上只有两个质数”的话题。

3. 第2章 一封名叫数学公式的情书

3.1. 故事情节

这一章主要讲述了男主和泰朵拉的相遇过程。男主收到一封来自泰朵拉的信，信中说到泰朵拉希望男主能够教她如何学好数学，于是两人相约在阶梯教室。

3.2. 所有约数之和

米尔嘉给男主出了一道题，题目如下

有一个正整数 $n$n 如何求出 $n$n 的所有约数之和？

• 符号定义：

1. 用 $p_0, p_1, p_2, \dots, p_m$p0​,p1​,p2​,…,pm​ 来表示质数
2. 用 $a_0, a_1, a_2 \dots, a_m$a0​,a1​,a2​…,am​ 来表示指数
3. $m + 1$m+1 表示将 $n$n 分解质因数后质因数的个数

• 男主的解法：

1. 将正整数 $n$n 进行因式分解

假设 $p_0, p_1, p_2, \dots, p_m$p0​,p1​,p2​,…,pm​ 为质数，$a_0, a_1, a_2 \dots, a_m$a0​,a1​,a2​…,am​ 为正整数，则有

$n = p_0^{a_0} \times p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots \times p_m^{a_m} \tag{2.1}$n=p0a0​​×p1a1​​×p2a2​​×⋯×pmam​​(2.1)

2. $n$n 的约数 $T_n$Tn​ 就可以表现为以下形式。

$T_n = p_0^{b_0} \times p_1^{b_1} \times p_2^{b_2} \times \dots \times p_m^{b_m} \tag{2.2}$Tn​=p0b0​​×p1b1​​×p2b2​​×⋯×pmbm​​(2.2)

其中 $b_m$bm​ 就是以下整数。

$b_0 = 0, 1, 2,3, \dots , a_0 \text{中的任意数}$b0​=0,1,2,3,…,a0​中的任意数

$b_1 = 0, 1, 2,3, \dots , a_1 \text{中的任意数}$b1​=0,1,2,3,…,a1​中的任意数

$b_m = 0, 1, 2,3, \dots , a_m \text{中的任意数}$bm​=0,1,2,3,…,am​中的任意数

3. 将公式 $2.2$2.2 展开，就可以得到公式 $2.3$2.3。

${ \begin{aligned} T_n &= (1 + p_0 + p_0^2 + \dots + p_0^{a_0}) & \\ &\times (1 + p_1 + p_1^2 + \dots + p_1^{a_1}) &\\ &\times (1 + p_2 + p_2^2 + \dots + p_2^{a_2}) &\\ &\times \dots &\\ &\times (1 + p_m + p_m^2 + \dots + p_m^{a_m}) &\\ \end{aligned} } \tag{2.3}$Tn​​=(1+p0​+p02​+⋯+p0a0​​)×(1+p1​+p12​+⋯+p1a1​​)×(1+p2​+p22​+⋯+p2a2​​)×…×(1+pm​+pm2​+⋯+pmam​​)​​(2.3)

这个公式显然很不简洁，下面看米尔嘉的解答。

• 米尔嘉的解法：

1. 将大于1的整数 $n$n 进行以下形式的质因数分解

$n = \prod_{k = 0}^m p_k^{a_k} \tag{2.4}$n=k=0∏m​pkak​​(2.4)

2. 假设 $p_k$pk​ 为互不相同的质数，$a_k$ak​ 为正整数。那么，此时 $n$n 的所有约数之和 $T_n$Tn​ 就可以用以下公式来求解。

${ \begin{aligned} T_n & = \prod_{k = 0}^m \sum_{i = 0}^m p_k^{a_i} & \\ & = \prod_{k = 0}^m \frac{1 - p_k^{a_k + 1}}{1 - p_k} & \\ \tag{2.5} \end{aligned} }$Tn​​=k=0∏m​i=0∑m​pkai​​=k=0∏m​1−pk​1−pkak​+1​​​​(2.5)

4. 参考文献

[1]得到APP.《数学女孩》[EB/OL].https://m.igetget.com/hybrid/v2/ebook/detail?bid=qPKdG1m9B8MaveyJdxRzNnKYlqgVZ3koXB3o5pL7E4m1r26kQjXDAPObGkYgJ4pN,2016.01.

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