AI笔记: 数学基础之直线、圆和方程

直线

1 ) 表示直线的几种形式

• 一般式：$ax + by + c = 0$ax+by+c=0 (a,b不能同时为0)
• 点斜式：$y - y_1 = k(x - x_1)$y−y1​=k(x−x1​) 直线经过点$(x_1, y_1)$(x1​,y1​)
• 斜截式：$y = kx + b$y=kx+b
• 截距式：$bx + ay - ab = 0$bx+ay−ab=0 当 a、b均不为0时，可写为: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ax​+by​=1
• 两点式：$\frac{y - y_1}{y_1 - y_2} = \frac{x - x_1}{x_1 - x_2}$y1​−y2​y−y1​​=x1​−x2​x−x1​​ 直线经过$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$(x1​,y1​),(x2​,y2​)两点
• 法线式：$xcos \theta + y sin \theta - p = 0$xcosθ+ysinθ−p=0, 其中p为原点到直线的距离，$\theta$θ 为法线与x轴正方向的夹角

2 ) 两条直线平行、相交、重合、垂直的充分必要条件

3 ) 两点间距离公式

• 两点： $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$(x1​,y1​),(x2​,y2​)
• 距离：$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$d=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2​

4 ) 点到直线的距离公式

• 点P： $(x_0, y_0)$(x0​,y0​)
• 直线：$ax + by + c = 0$ax+by+c=0
• 距离：$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$d=a2+b2​∣ax0​+by0​+c∣​

5 ) 两平行线间的距离公式

• 直线1：$ax + by + c_1 = 0$ax+by+c1​=0
• 直线2：$ax + by + c_2 = 0$ax+by+c2​=0
• 距离：$d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$d=a2+b2​∣c2​−c1​∣​

圆与方程

1 ） 圆的方程

标准方程

• $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$(x−a)2+(y−b)2=r2
• 圆心：(a,b), 半径：r

一般方程

• $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$x2+y2+Dx+Ey+F=0
• 圆心：$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$(−2D​,−2E​), 半径：$r = \frac{1}{2} \sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$r=21​D2+E2−4F​

2 ) 直线与圆的位置关系

• 直线：Ax + By + C = 0
• 圆：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$(x−a)2+(y−b)2=r2
• 相离：d > r , $\Delta < 0$Δ<0
• 相切：d = r , $\Delta = 0$Δ=0
• 相交：d > r , $\Delta > 0$Δ>0

3 ) 两圆位置关系

• 外离： d > R + r
• 外切：d = R + r
• 相交： R - r < d < R + r
• 内切：d = R - r
• 内含：d < R - r

扩展

(三维)空间中两点间距离公式

• P1 : $(x_1, y_1, z_1)$(x1​,y1​,z1​)
• P2 : $(x_2, y_2, z_2)$(x2​,y2​,z2​)
• $|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$∣P1​P2​∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​