关于《损失模型》的一点笔记——第二部分精算模型-1随机变量与分布函数

一般的精算模型尝试表现出未来不确定的支付流，不确定性包括事件是否会发生、发生的时间以及损失量。

一些概念：
1. 现象是指可以观测到的发生。
2. 试验是指在一定条件下对某给定现象的一个观测。
3. 一次试验的最终观测称为结果。
4. 事件是一个或多个结果的集合。
5. 随机现象是指试验可能会有一个以上的结果。
6. 具有随机现象的事件称为不确定结果。
7. 概率是对一个事件的结果发生可能性的度量，这个度量经过标准化处理，从0增加到1的数值表示。
8. 随机变量是一个函数，它对每一个可能结果赋予一个数值。

分布函数和4个模型

某随机变量X的累积分布函数F(x)满足以下四个必要条件
1.对所有x，0≤F(x)≤1。
2.F(x)是非降的。
3.F(x)是右连续的。
4. limx→−∞F(x)=0$\underset{x\to -\infty }{lim}F(x)=0$且 limx→+∞F(x)=1$\underset{x\to +\infty }{lim}F(x)=1$

基于此的4个模型大概长这个样子（灵魂画作）

第一行左边是典型的 F(x)=ax+b$F(x)=ax+b$，具体约束参照四个必要条件，abmn均为正数，不详细说了。
第一行右边是 F(x)=1−b/xa$F(x)=1-b/x^a$
第二行左边是 F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪0mn1x＜00≤x<aa≤x＜bx≥b$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x＜0\\ m& 0\le x<a\\ n& a\le x＜b\\ 1& x\ge b\end{array}$
第二行右边是 F(x)={01−be−axx＜0x≥0$F(x)=\{\begin{array}{ll}0& x＜0\\ 1-b{e}^{-ax}& x\ge 0\end{array}$，那个圈是画错的，无视就好了。（其实我是想画0和函数的值是区分的，手抖画错了2333）

以上4个模型就是常用的分布函数，前两个是连续分布，第三个是离散分布，第四个是混合分布。
从我个人的角度理解，分布函数常常用于描述事物本身。

生存函数

生存函数是分布函数的“补函数”，记为S(x)。S(x)=1-F(x)，故而
1.对所有x，0≤S(x)≤1。
2.S(x)是不增的。
3.F(x)是右连续的。
4. limx→−∞S(x)=1$\underset{x\to -\infty }{lim}S(x)=1$且 limx→+∞S(x)=0$\underset{x\to +\infty }{lim}S(x)=0$

概率密度函数

概率密度函数f(x)，简称为密度函数，它表示分布函数的导数或者生存函数导数的负值，即f(x)=F’(x)=-S’(x)，有时缩写为pdf。
随机变量在密度函数比较高的区域，发生的可能性将高于比较低的区域。

概率函数

概率函数p(x)，也称为概率质点函数，表示随机变量在概率值为非零点的概率。一般用在离散型分布函数或者混合型分布函数。

风险率

风险率h(x)，也称作死亡力（也写作μ(x)）或者失效率（也写作λ(x)），表示密度函数与生存函数的比值，即h(x)=f(x)/S(x)
所以，先前的4个模型变成了这个样子

众数

众数是指最有可能发生的值，对于离散型则是概率函数最大的点，对于连续型则是密度函数最大值的点。

矩

随机变量X的k阶原点矩，为随机变量k次幂的期望（平均）值（如果它存在的话）。用E(X^k)。一阶原点矩为随机变量的均值，通常记为μ。
μ′x={∫∞−∞xkf(x)dx∑jxkjp(xj)随机变量是连续的随机变量是离散的${\mu }_x^{{}^{\prime }}=\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^{k}f(x)dx& 随机变量是连续的\\ \sum _j{x}_j^{k}p(x_j)& 随机变量是离散的\end{array}$

一个特殊的离散分布模型——经验分布模型

经验分布模型是基于一个样本量为n，并对每个数据点赋予概率1/n的离散分布模型。
模型中的均值等于算数平均值。

中心矩、变异系数、偏度与峰度

随机变量的k阶中心矩为该变量与其均值的偏差的k次幂的期望值，一般表示为E[(X-μ)^k]或μ_k。
通常称呼二阶中心矩为方差σ2${\sigma }^2$，它的平方根叫做标准差σ。
标准差与均值的比值称作变异系数。
三阶中心矩与标准差立方的比值称为偏度，τ1=μ3/σ3${\tau }_1={\mu }_3/{\sigma }^3$，也称作偏度系数。
四阶中心矩与标准差的四次方的比值称为峰度，τ2=μ4/σ4${\tau }_2={\mu }_4/{\sigma }^4$，也称作峰度系数。

中心距计算公式：

标准差是对随机变量可能值的分散程度的一个度量。
变异系数是衡量标准差相对于均值的分散程度。
偏度是关于对称性的一种度量，完全对称的分布偏度为0，偏度为正表示概率相同时与左边的值相比，右边的值距离均值更远。
峰度度量了相对于正态分布的平坦程度（正态分布峰值为3），在标准差相同时，峰度大于3的分布相对于正态分布在远离均值点的概率更大。
原点矩与中心矩与均值的关系：

矩若不存在意味着积分或者求和式的极限是正无穷。

超额损失函数

对于随机变量X与定值d，则定义超额损失变量Y=X-d。若X>d，则该变量的期望e(d)=E(Y)=E(X-d|X>d)，称为平均超损函数。
这个函数也称作左截断平移变量，主要是把d以下的观测全部丢弃了。这个函数主要用于计算免赔额。
超额损失变量，把d以下的观测全部改为0，就称为左删失。

超额损失函数的余函数
定义限额损失变量Y=XΛu{XuX<uX≥u$Y=X\Lambda u\{\begin{array}{ll}X& X<u\\ u& X\ge u\end{array}$，这个变量称为右删失变量，它的数学期望值E[XΛu]称为限额期望值。

一般而言，购买了一份最大赔付额为d的保单同时，购买了免赔额为d的保单，相当于购买了全额保险。

分位数

书里写的太复杂了，简单来说，分位数函数就是分布函数的逆函数，而分位数就是所对应的那个值。
简单理解，以前你看的是x轴的数字找y，现在是看y轴数字找x，就这么简单。
50%分位数（也称作中位数）就找0.5，80%分位数就找0.8，简单粗暴。k

生成函数与随机变量的和

如果随机变量相互独立且前两阶符合一定条件，则limk→∞[Sk−E(Sk)]/Var(Sk)−−−−−−−√$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}[S_k-E(S_k)]/\sqrt{Var(S_k)}$ 服从均值为0，方差为1的正态分布
矩母函数mgf，为随机变量X的关于t的函数，MX(t)=E(etX)$M_X(t)=E(e^{tX})$，只当期望存在时才有定义，一般用于连续随机变量。
概率生成函数pgf，为如下关于z的函数，PX(z)=E(zX)$P_X(z)=E(z^X)$，只当期望存在时才有意义，一般用于离散随机变量。

表明乘积是累增的。

参数的作用

※多少参数刻画一个适用的模型？
一个简单模型至少具备以下特点：
1.用较少参数确定模型，确定每个参数的精度应非常高。
2.模型对环境及时间稳定。
3.由于数据的不规则性，需要进行光滑处理。
一个复杂模型至少具备以下特点：
1.当必须用较多参数确定的模型，可尽量与现实吻合。
2.当必须用较多参数确定的模型，能尽量匹配数据的不规则性。
统计建模追求可以充分反应现实情况的最简单模型。

参数分布和尺度分布

参数分布是由分布函数构成的集合，其中每个函数由一个或多个特征值确定，这些值称作参数。参数的个数是固定且有限的。
比如正态分布，参数是µ和σ2${\sigma }^2$
满足一个分布集合中任何一个分布的随机变量，在经过正实数乘数变换后所生成的随机变量还属于该分布的集合，被称作尺度分布。

参数分布族

参数分布族是指由某些参数分布组成的集合，这些分布之间存在某种关联关系。

有限混合分布

k元混合分布，如果其积累函数可以表示为 FY(y)=a1Fx1(y)+a2Fx2(y)+……+akFxk(y)$F_Y(y)=a_1{F}_{x_1}(y)+a_2{F}_{x_2}(y)+\dots \dots +a_k{F}_{x_k}(y)$，其中对所有的j有aj>0$a_j>0$，且a1+a2+……+ak=1$a_1+a_2+\dots \dots +a_k=1$成立。

一般混合分布（半参数模型）

一般混合分布（变元数不确定）的分布函数形式如下

这种模型被称为半参数的。（简单的理解，就是有的参数你是已知的，有的参数你是未知的，未知越多越复杂的一种分布模式）

数据依赖型分布

数据依赖型分布是其复杂程度至少不低于其提供的信息源或数据，并且“参数”的个数随其源信息数据增加而增加。
比如经验分布函数就是对1/n个取值，进行的n个观测，参数数量就是n。（简单理解，有一个常量可以代表某一些数据，那么这个常量就可以看做一个参数，函数即由这些参数组成的。）

厚尾

对于一个随机变量，如果任意的正数阶原点矩存在，那么说明分布的尾部很轻，如gamma分布。而正数阶矩存在最高阶数（或不存在正数阶矩），如Pareto分布，则说明分布的尾部很厚。

极限比

尾部厚度的比较可以通过计算两个生存函数的比值，在趋近于无限时的收敛性（厚的做分子），若比值收敛，则表示分子的分布函数在数值较大出有更大的概率。

损失率和平均剩余生命函数

损失率函数（风险率函数）是递减的，则在较低数值的概率变小，而较高数值的概率变大，因此尾部较厚。
若损失率函数是递减的，那么平均剩余生命函数是递增的。但反过来不一定成立。

新分布函数构造方法

倍数变换：如用于通胀因素下，将标度进行变换。
幂变换：用逆变换的时候比较多一些。常用的是韦伯分布、伽马分布等。
指数变换：对数正态分布的应用。
混合：这是针对无限多个随机变量的一般解决办法。

含瑕点的风险率模型：
在混合分布中，对随机变量Λ＞0，并定义X的条件损失率（Λ=λ）为 hX|Λ(x|λ)=λa(x)$h_{X|\Lambda }(x|\lambda )=\lambda a(x)$， a(x)是x的一个已知函数。含瑕点是指用一个随机风险变量对损失率函数进行量化（是对用常数表达任意值的复杂化表达）。
X|Λ的条件生存函数为SX|Λ(x|λ)=e−λA(x)$S_{X|\Lambda }(x|\lambda )=e^{-\lambda A(x)}$。
其中A(x)=∫x0a(t)dt$A(x)={\int }_0^{x}a(t)dt$。定义随机变量Λ的矩生成函数为MΛ(t)=E(etΛ)$M_{\Lambda }(t)=E(e^{t\Lambda })$，则边缘生存函数为SX(x)=MΛ[−A(x)]$S_X(x)=M_{\Lambda }[-A(x)]$。
各类型混合决定a(x)和A(x)的选择。重要的子类：混合指数分布（a(x)=1和A(x)=x$a(x)=1和A(x)=x$），韦伯分布（a(x)=γxr−1和A(x)=xγ$（a(x)=\gamma x^{r-1}和A(x)=x^{\gamma }$）
最常用的是伽马含瑕点风险率模型，其他如逆高斯含瑕点风险率模型也很常用。

常用分布的关系

离散分布

概率函数：pk$p_k$表示恰巧发生k次事件的概率，离散随机变量N的概率生成函数P(z)=∑∞k=0pkzk$P(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{p}_k{z}^k$
泊松分布：泊松分布概率函数为pk=e−λλkk!$p_k=\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}$，概率生成函数为 P(z)=eλ(z−1),λ>0$P(z)=e^{\lambda (z-1)},\lambda >0$。其均值与方差相等。
如果一个随时间变化的索赔模型符合泊松分布，这个索赔可以随某些值可以分为N种类型，则超过某个定值的索赔个数依旧符合泊松分布。