势函数法 （一种确定性的非线性分类方法）

势函数的目的

用势函数的概念来确定判别函数和划分类别界面。

基本思想

1.假设要划分属于两种类别ω1和ω2的模式样本，这些样本可看成是分布在n维模式空间中的点$x_k$xk​。
2.把属于ω1的点比拟为某种能源点，在点上，电位达到峰值。
3. 随着与该点距离的增大，电位分布迅速减小，即把样本$x_k$xk​附近空间x点上的电位分布，看成是一个势函数$K(x, x_k)$K(x,xk​)。
4.对于属于ω1的样本集群，其附近空间会形成一个“高地”，这些样本点所处的位置就是“山头”。
5. 同理，用电位的几何分布来看待属于ω2的模式样本，在其附近空间就形成“凹地”。
6. 只要在两类电位分布之间选择合适的等高线，就可以认为是模式分类的判别函数。

判别函数的产生

1. 模式分类的判别函数可由分布在模式空间中的许多样本向量${x_k, k=1,2,…且 }$xk​,k=1,2,…且的势函数产生。
2. 任意一个样本所产生的势函数以$K(x, x_k)$K(x,xk​)表征，则判别函数$d(x)$d(x)可由势函数序列$K(x, x_1)， K(x, x_2)，…$K(x,x1​)，K(x,x2​)，…来构成，序列中的这些势函数相应于在训练过程中输入机器的训练模式样本$x_1，x_2，…。$x1​，x2​，…。
3. 在训练状态，模式样本逐个输入分类器，分类器就连续计算相应的势函数，在第$k$k步迭代时的积累位势决定于在该步前所有的单独势函数的累加。
4. 以$K(x)$K(x)表示积累位势函数，若加入的训练样本$x_k+1$xk​+1是错误分类，则积累函数需要修改，若是正确分类，则不变。
5. 
6. 

第二类势函数

势函数的选择

用第二类势函数，当训练样本维数和数目都较高时，需要计算和存储的指数项较多。
正因为势函数由许多新项组成，因此有很强的分类能力。

选择势函数的条件：

一般来说，若两个n维向量$x$x和$x_k$xk​的函数$K(x, x_k)$K(x,xk​)同时满足下列三个条件，则可作为势函数。
$K(x, x_k)=K(x_k, x)$K(x,xk​)=K(xk​,x)，并且当且仅当x=xk时达到最大值；
当向量x与xk的距离趋于无穷时，$K(x, xk)$K(x,xk)趋于零；
$K(x, x_k)$K(x,xk​)是光滑函数，且是$x与x_k$x与xk​之间距离的单调下降函数。