不确定性推理

重点：可信度方法、模糊推理

• 基本概念

• 概率方法

• 主观Bayes方法

• 可信度方法

• 模糊理论

• 简单模糊推理

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【不确定性推理】：不确定性的初始证据，用不确定性的知识，推出一定程度上不确定的结论。

【如何表示】：

• 知识不确定性：由领域专家给出的一个数值表示，称为静态强度
• 证据不确定性：也是一个数值，称为动态强度

【不确定性的匹配】：

• 设计不确定性匹配算法
• 指定一个匹配阈值

【不确定性的计算】：

经典概率方法：规则：IF E THEN H，条件概率P(H|E)可作为规则的静态强度。

先验概率：P(H) 后验概率：P(H|E)

贝叶斯公式：$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)},其中P(E)=\sum{P(E|H_i)P(H_i)}$P(H∣E)=P(E)P(E∣H)P(H)​,其中P(E)=∑P(E∣Hi​)P(Hi​)

$P(H|E_1,E_2)=\frac{P(E_1|H)P(E_2|H)P(H)}{P(E)},其中P(E_1E_2)=\sum{P(E_1|H_i)P(E_2|H_i)P(H_i)}$P(H∣E1​,E2​)=P(E)P(E1​∣H)P(E2​∣H)P(H)​,其中P(E1​E2​)=∑P(E1​∣Hi​)P(E2​∣Hi​)P(Hi​)

由于概率推理方法存在一些现实局限，所以主观贝叶斯方法表示知识：IF E THEN (LS,LN) H。

【不确定性的更新】：

【不确定性的合成】：

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【主观贝叶斯公式】$IF.E.THEN.(LS,LN) H(P(H))$IF.E.THEN.(LS,LN)H(P(H))

$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$P(H∣E)=P(E)P(E∣H)P(H)​

$P(notH|E)=\frac{P(E|notH)P(notH)}{P(E)}$P(notH∣E)=P(E)P(E∣notH)P(notH)​

LS是充分性度量：$LS=\frac{P(E|H)}{P(E|notH)}$LS=P(E∣notH)P(E∣H)​，指出E对H的支持程度

LN是必要性度量：$LN=\frac{P(notE|H)}{P(notE|notH)}$LN=P(notE∣notH)P(notE∣H)​

$\Theta(H|notE)=\frac{P(H|notE)}{P(notH|notE)}$Θ(H∣notE)=P(notH∣notE)P(H∣notE)​

【以上应该不考/(ㄒoㄒ)/~~】

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###可信度的计算

【可信度】：根据经验对一个事物和现象为真的相信程度。

• 在可信度方法中，由专家给出规则或知识的可信度，从而避免求先验概率或条件概率。

• CF模型：IF E THEN H (CF(H,E))，其中，可信度因子/规则强度：CF(H,E)$\in[-1,1]$∈[−1,1]

• CF(H,E)>0 则P(H|E)>P(H); 同号

• CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)，其中MB,MD分别表示证据对结论有利和无利的一面，称为信任/不信任增长度。

• 定义:

  $MB(H,E)=\begin{cases}1,P(H)=1 \\ \frac{max(P(H|E),P(H))-P(H)}{1-P(H)},否则\end{cases}$MB(H,E)={1,P(H)=11−P(H)max(P(H∣E),P(H))−P(H)​,否则​

  $MD(H,E)=\begin{cases}1,P(H)=0 \\ \frac{min(P(H|E),P(H))-P(H)}{-P(H)},否则\end{cases}$MD(H,E)={1,P(H)=0−P(H)min(P(H∣E),P(H))−P(H)​,否则​

  $CF(H,E)=\begin{cases}MB(H,E)-0=\frac{P(H|E)-P(H)}{1-P(H)},P(H|E)>P(H) \\ 0\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad,P(H|E)=P(H) \\0-MD(H,E)=\frac{P(H)-P(H|E)}{P(H)},P(H|E)<P(H)\end{cases}$CF(H,E)=⎩⎪⎨⎪⎧​MB(H,E)−0=1−P(H)P(H∣E)−P(H)​,P(H∣E)>P(H)0,P(H∣E)=P(H)0−MD(H,E)=P(H)P(H)−P(H∣E)​,P(H∣E)<P(H)​

【证据的不确定性】用可信度因子表示，动态强度：CF(E)>0：某种程度上证据为真；CF(E)<0：某种程度上证据为假。

【结论H的可信度】CF(H)=CF(H，E)×max{0,CF(E)}$，CF(H)\in[-1,1]$，CF(H)∈[−1,1]

【结论不确定性的合成算法】同一个结论可以有多条不同的知识推出来。

【结论H的综合可信度】：

1. 对每一条知识求$CF_i(H)$CFi​(H)

2. 求$CF_{12}(H)=\begin{cases}CF_1(H)+CF_2(H)-CF_1(H)×CF_2(H),both>=0 \\CF_1(H)+CF_2(H)+CF_1(H)×CF_2(H) ,both<0\\\frac{CF_1(H)+CF_2(H)}{1-min{|CF_1(H)|,|CF_2(H)|}},二者异号\end{cases}$CF12​(H)=⎩⎪⎨⎪⎧​CF1​(H)+CF2​(H)−CF1​(H)×CF2​(H),both>=0CF1​(H)+CF2​(H)+CF1​(H)×CF2​(H),both<01−min∣CF1​(H)∣,∣CF2​(H)∣CF1​(H)+CF2​(H)​,二者异号​

3. 必考题
   
   【带有阈值限度的不确定性推理】CF(H,E),lambda

当CF(E)>=λ时，知识才可以被应用，CF(H)=CF(H,E)×CF(E)

【结论不确定性的合成算法】

1. 当n条规则都满足$CF(E_i)>=\lambda,i=1,2,...,n$CF(Ei​)>=λ,i=1,2,...,n时，计算$CF_i(H)$CFi​(H)
2. 求综合可信度
   • 极大值法：$CF(H)=max{CF_1(H),CF_2(H),...,CF_n(H)}$CF(H)=maxCF1​(H),CF2​(H),...,CFn​(H)
   • 加权求和法：$CF(H)=\frac{1}{\sum{CF(H,E_i)}}\sum{CF(H,E_i)×CF(E_i)}$CF(H)=∑CF(H,Ei​)1​∑CF(H,Ei​)×CF(Ei​)
   • 有限和法：$CF(H)=min{(\sum{CF_i(H)},1)}$CF(H)=min(∑CFi​(H),1)
   • 递推法：$C_1=CF(H,E_1)×CF(E_1),C_k=C_{k-1}+(1-C_{k-1})×CF(H,E_k)×CF(E_k)$C1​=CF(H,E1​)×CF(E1​),Ck​=Ck−1​+(1−Ck−1​)×CF(H,Ek​)×CF(Ek​)

【加权的不确定性推理】

知识表示：IF $E_1(\omega_1)ANDE_2(\omega_2)AND...ANDE_n(\omega_n)$E1​(ω1​)ANDE2​(ω2​)AND...ANDEn​(ωn​) THEN H $(CF(H,E),\lambda)$(CF(H,E),λ)

其中，$\omega_i\in[0,1]$ωi​∈[0,1]是加权因子，$\lambda$λ是阈值，都由专家给出。$\sum{\omega_i}=1$∑ωi​=1

组合证据的可信度：$CF(E)=\frac{1}{\sum{\omega_i}}\sum{(\omega_i×CF(E_i))}$CF(E)=∑ωi​1​∑(ωi​×CF(Ei​))

【前提条件中带有可信度因子的不确定性推理】

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###【模糊推理】