什么是状态空间法

1 状态空间法

在经典控制理论中，在建立数学模型时是通过传递函数进行的，在这个过程中，只考虑输入和输出之间的关系，所以会将系统变成一个黑盒子，里面的内容被浓缩了。

而在现代控制理论中，会首先从系统中抽取出一些状态变量来，通过表示这些状态变量之间的关系来描述这个系统，这个过程中会暴露系统的内容，所以不是一个黑盒子。

在现代控制理论中，采用的是状态空间法进行描述。系统被看作一个状态空间，这个状态空间是有阶数的。

阶数 = 状态变量数 = 储能元件数 = 状态变量图中的积分器的个数 = 传递函数特征方程的阶数

一般直接看这个系统会求导几次，这个系统就是几阶了。

从线性代数的角度讲，这个状态空间就对应线性空间，阶数就对应秩，状态变量就是从线性空间中可以抽取出的线性无关变量，可以看做线性空间的轴数，基坐标数。

经典控制理论的缺点：

• 模型为外部描述，不能全面描述被控对象的结构特性
• 单输入单输出
• 忽略初始条件的影响

系统的主要包含两部分内容，一是内部信息，而是内部结构。
对于线性定常系统而言，前者用状态变量表示，后者用动态方程表示。

动态方程 = 状态方程 + 输出方程
状态方程主要是描述状态变量之间的关系，输出方程则是在状态方程的基础上描述输出。

状态方程： dx/dt = f(x, u) = Ax + Bu
输出方程： y = f(x, u) = Cx + Du

A: 系统矩阵
B: 输入矩阵
C: 输出矩阵
D: 前馈矩阵

x$\in$∈Rⁿ , u$\in$∈R^p，, y$\in$∈R^q

2 如何建立动态方程？

• step1: 确定状态变量的个数，选取状态变量(x₁,…,x_n)，确定输入输出变量(u₁,…,u_n; y₁, …,y₂)
• step2: 列出微分方程
• step3: 借助微分方程表示状态变量的一阶导数和输出变量

$\dot{x}$x˙₁ = a₁₁$\times$×x₁ + … + a_1n$\times$×x_n + b₁₁$\times$×u₁ + b_1n$\times$×u_n
…
$\dot{x}$x˙_n = a_n1$\times$×x₁ + … + a_nn$\times$×x_n + b_n1$\times$×u₁ + b_nn$\times$×u_n

$\dot{y}$y˙​₁ = c₁₁$\times$×x₁ + … + c_1n$\times$×x_n + d₁₁$\times$×u₁ + d_1n$\times$×u_n
…
$\dot{y}$y˙​_n = c_n1$\times$×x₁ + … + c_nn$\times$×x_n + d_n1$\times$×u₁ + d_nn$\times$×u_n

• step4: 整理成矩阵A,B,C,D

3 如何由动态方程画出状态变量图

有几个状态变量就先画出几个积分器，积分器前放$\dot{x}$x˙_i，积分器后放$\it{x}$x_i，然后依据上面列出的两组式子就可以把整个图连接起来了。