Gradient Descent

当成本函数位于图中凹坑的最底部时，即当其值最小时，我们就成功了。
我们这样做的方法是采用成本函数的导数，切线的斜率是该点的导数，它将为我们提供一个方向，我们沿下降最陡的方向逐步降低成本函数，每步的大小由参数α（称为学习率）确定。

算法

repeat until convergence:

where j=0,1 represents the feature index number.

注意：同步更新

每次迭代时，应该同时更新参数θ1，θ2，…，θn，否则在计算偏导数时将出现错误。

Gradient Descent Intuition

假设只有一个θ1参数时

其迭代算法如下

无论导函数为多少，θ1最终会收敛到其最小值，如下图当导函数为负数时，θ1的值会增加，当导函数为正数时，θ1的值会减小。

另外，我们应该调整学习率α，过小或过大都不适宜。

因为最终的局部最优解导函数为0，所以尽管学习率α不变，在收敛过程中导函数会逐步变小，梯度下降会自动逐渐采取更小的步子以接近最优解。

Gradient Descent For Linear Regression

当专门用于线性回归时，可以得到以下等式

因为该方法着眼于每个步骤的整个训练集中的每个数据，称为批量梯度下降。因为此处为线性回归提出的优化问题只有一个全局最优，因此梯度下降总会收敛到全局最小值（学习率α不太大）