反向传播的工作过程以及公式推导

一般都是用链式法则解释
比如如下的神经网络

• 前向传播

对于节点来说，的净输入如下：

接着对做一个sigmoid函数得到节点的输出：

类似的，我们能得到节点、、的输出、、。

• 误差

得到结果后，整个神经网络的输出误差可以表示为：

其中就是刚刚通过前向传播算出来的、；是节点、的目标值。用来衡量二者的误差。
这个也可以认为是cost function，不过这里省略了防止overfit的regularization term（）
展开得到

• 后向传播

对输出层的

通过梯度下降调整，需要求，由链式法则：
，
如下图所示：




以上3个相乘得到梯度，之后就可以用这个梯度训练了：

很多教材比如Stanford的课程，会把中间结果记做，表示这个节点对最终的误差需要负多少责任。。所以有。

对隐藏层的

通过梯度下降调整，需要求，由链式法则：
，
如下图所示：

参数影响了，进而影响了，之后又影响到、。
求解每个部分：
，
其中，这里之前计算过。
的计算也类似，所以得到
。
的链式中其他两项如下：
，

相乘得到

得到梯度后，就可以对迭代了：
。
在前一个式子里同样可以对进行定义，，所以整个梯度可以写成

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上述就是教程Unsupervised Feature Learning and Deep Learning Tutorial 中第三步计算的由来。。

<img src="https://pic1.zhimg.com/50/2d29c11b1c9da7652c63f01d5e31284e_hd.jpg" data-rawwidth="822" data-rawheight="428" class="origin_image zh-lightbox-thumb" width="822" data-original="https://pic1.zhimg.com/2d29c11b1c9da7652c63f01d5e31284e_r.jpg">

所谓的后向传播，其实就是『将来在宣传传播上出了偏差，你们要负责的！』，每一个节点负责的量用表示，那么，隐藏节点需要负责的量，就由输出节点负责的量一层层往前传导。

参考：
【1】A Step by Step Backpropagation Example
【2】Unsupervised Feature Learning and Deep Learning Tutorial