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注明：文中图片来自《机器学习基石》课程和部分博客
建议：建议读者学习林轩田老师原课程，本文对原课程有自己的改动和理解

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Lecture 14 Regularization

上节课我们介绍了过拟合发生的原因：excessive power, stochastic/deterministic noise 和limited data。并介绍了解决overfitting的简单方法。本节课，我们将介绍解决overfitting的另一种非常重要的方法：Regularization规则化。

1 Regularized Hypothesis Set

先来看一个典型的overfitting的例子：

如图所示，在数据量不够大的情况下，如果我们使用一个高阶多项式（图中红色曲线所示），例如10阶，对目标函数（蓝色曲线）进行拟合。拟合曲线波动很大，虽然Ein很小，但是Eout很大，也就造成了过拟合现象。

那么如何对过拟合现象进行修正，使hypothesis更接近于target function呢？一种方法就是regularized fit。

这种方法得到的红色fit曲线，要比overfit的红色曲线平滑很多，更接近与目标函数，它的阶数要更低一些。那么问题就变成了我们要把高阶（10阶）的hypothesis sets转换为低阶（2阶）的hypothesis sets。通过下图我们发现，不同阶数的hypothesis存在如下包含关系：

我们发现10阶多项式hypothesis sets里包含了2阶多项式hypothesis sets的所有项，那么在H10中加入一些限定条件，使它近似为H2即可。这种函数近似曾被称之为不适定问题（ill-posed problem）。

2 Weight Decay Regularization

现在，针对H(c)，即加上限定条件，我们的问题变成：






如果λ不为零，对应于加上了限定条件，若λ等于零，则对应于没有任何限定条件，问题转换成之前的最小化Ein(w)。

下面给出一个曲线拟合的例子，λ取不同的值时，得到的曲线也不相同：

从图中可以看出，当λ=0时，发生了过拟合；当λ=0.0001时，拟合的效果很好；当λ=0.01和λ=1时，发生了欠拟合。我们可以把λ看成是一种penality，即对hypothesis复杂度的惩罚，λ越大，w就越小，对应于C值越小，即这种惩罚越大，拟合曲线就会越平滑，高阶项就会削弱，容易发生欠拟合。λ一般取比较小的值就能达到良好的拟合效果，过大过小都有问题，但究竟取什么值，要根据具体训练数据和模型进行分析与调试。

事实上，这种regularization不仅可以用在多项式的hypothesis中，还可以应用在logistic regression等其他hypothesis中，都可以达到防止过拟合的效果。

关于Legendre Polynomials的概念这里不详细介绍，有兴趣的童鞋可以看一下维基百科。

Augmented Error表达式如下：

当λ=0时，所有的w都给予考虑，容易发生过拟合。当λ>0且越来越大时，很多w将被舍弃，拟合曲线越来越平滑，容易发生欠拟合。

3 General Regularizers

那么通用的Regularizers，即Ω(w)，应该选择什么样的形式呢？一般地，我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：

target-dependent
plausible
friendly

接下来，介绍两种Regularizer：L2和L1。L2 Regularizer一般比较通用，其形式如下：

L1计算的不是w的平方和，而是绝对值和，即长度和，也是凸函数。已知wTw=C围成的是圆形，而||w||1=C围成的是正方形，那么在正方形的四个顶点处，是不可微分的（不像圆形，处处可微分）。根据之前介绍的平行等式推导过程，对应这种正方形，它的解大都位于四个顶点处（不太理解，欢迎补充赐教），因为正方形边界处的w绝对值都不为零，若−∇Ein不与其平行，那么w就会向顶点处移动，顶点处的许多w分量为零，所以，L1 Regularizer的解是稀疏的，称为sparsity。优点是计算速度快。

以上两种noise的情况下，都是noise越大，相应的λ也就越大。这也很好理解，如果在开车的情况下，路况也不好，即noise越多，那么就越会踩刹车，这里踩刹车指的就是regularization。但是大多数情况下，noise是不可知的，这种情况下如何选择λ？这部分内容，我们下节课将会讨论。

4 总结

本节课主要介绍了Regularization。首先，原来的hypothesis set加上一些限制条件，就成了Regularized Hypothesis Set。加上限制条件之后，我们就可以把问题转化为Eaug最小化问题，即把w的平方加进去。这种过程，实际上回降低VC Dimension。最后，介绍regularization是通用的机器学习工具，设计方法通常包括target-dependent，plausible，friendly等等。下节课将介绍如何选取合适的λ来建立最佳拟合模型。