离散信号（一） | 信号的采样和恢复+时域、频域采样定理

离线信号是指在时间上是离散的，即只在某些不连续的规定时刻给出信号的瞬时值，而在其它时刻无意义的信号。连续时间信号的采样是离散信号产生的方法之一，而计算机技术的发展以及数字技术的广泛应用是离散信号分析、处理理论和方法迅速发展的动力。

离散信号的时域描述和分析

1. 信号的采样和恢复

理想化的采样过程是一个将连续信号进行脉冲调制的过程，即$x_s(t)$xs​(t)表示为连续信号$x(t)$x(t)与周期性冲激串$\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_n)$δT​(t)=∑n=−∞∞​δ(t−nTn​)的乘积：
$x_s(t)=x(t)\delta_T(t)=x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)$xs​(t)=x(t)δT​(t)=x(t)=n=−∞∑∞​δ(t−nTs​)=−∞∑∞​x(nTs​)δ(t−nTs​)
$x_s(t)$xs​(t)是经过采样处理后时间上离散化而幅值上仍然连续变化的信号，必须经过幅值上量化、编码处理等离散取值后才能成为数字信号。

一个连续信号离散化后，有两个问题需要讨论：（1）采样得到的信号$x_s(t)$xs​(t)在频域上有什么特性，它与原连续信号$x(t)$x(t)的频域特性有什么联系？（2）连续信号采样后，它是否保留了原信号的全部信息，或者说，从采样的信号$x_s(t)$xs​(t)能否无失真地恢复原连续信号$x(t)$x(t)?

设连续信号$x(t)$x(t)的傅里叶变换为$X(w)$X(w)，采样后离散信号$x_s(t)$xs​(t)的傅里叶变换为$X_s(w)$Xs​(w)，已知周期性冲激串$\delta_T(t)$δT​(t)的傅里叶变换为$P(w)=w_s\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(w-nw_s)$P(w)=ws​∑n=−∞∞​δ(w−nws​)，由傅里叶变换的频域卷积定理，有
$X_s(w)=\frac{1}{2\pi}X(w)*P(w)$Xs​(w)=2π1​X(w)∗P(w)
将$P(w)$P(w)代入上式，并按卷积运算的性质化简后得到抽样信号$x_s(t)$xs​(t)的傅里叶变换为
$X_s(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(w-nw_s) \tag{1}$Xs​(w)=Ts​1​n=−∞∑∞​X(w−nws​)(1)
式（1）表明，一个连续信号经理想采样后频谱发生了两个变化：

1）频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频谱$X(w)$X(w)分别延拓到以$\pm w_s,\pm 2w_s,\dots$±ws​,±2ws​,…为中心的频谱，其中$w_s$ws​为采样角频率。

2）频谱的幅度乘上了一个$1/T_s$1/Ts​因子，其中$T_s$Ts​为采样周期。

2. 时域采样定理

对于频谱函数只在有限区间$(-w_m,w_m)$(−wm​,wm​)为有限值的频谱受限信号$x(t)$x(t)，为了将它的抽样信号$x_s(t)$xs​(t)恢复为原连续信号，只要对抽样信号施以截止频率为$w\geq w_m$w≥wm​的理想低通滤波，这时在频域上得到与$x(t)$x(t)的频谱$X(w)$X(w)完全一样的频谱（幅度的变化很容易实现）。对应地，在时域上也就完全恢复了原连续信号$x(t)$x(t)。从图中可以看出，上述连续信号恢复过程是在$w_s\geq w_m$ws​≥wm​的前提下实现的，也即采样频率至少为原连续信号所含最高频率成分的2倍时实现的。这时，就能够无失真地从抽样信号中恢复原连续信号，或者说，采样过程完全保留了原信号的全部信息。

当$w_s<2w_m$ws​<2wm​时，在频域就会出现频谱混叠现象。施以理想低通滤波后不能得到与$X(w)$X(w)完全一样的频谱。可以想象，在时域也就不能无失真地恢复原连续信号$x(t)$x(t)。

由此，得出关于采样频率如何取的结论，这就是著名的时域采样定理（香农定理）：

对于频谱受限的信号$x(t)$x(t)，如果其最高频率分量为$w_m$wm​，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频率应满足$w_s\geq 2w_m$ws​≥2wm​。通常把最低允许的采样频率$w_s=2w_m$ws​=2wm​称为奈奎斯特（Nyquist）频率。

为了从抽样信号$x_s(t)$xs​(t)中恢复原信号$x(t)$x(t)，可将抽样信号的频谱$X_s(w)$Xs​(w)乘上幅度为$T_s$Ts​的矩形窗信号
$G(w)= \begin{cases} T_s & |w|\leq w_s/2 \\ 0 & |w|>w_s/2 \end{cases}$G(w)={Ts​0​∣w∣≤ws​/2∣w∣>ws​/2​
它将原信号的频谱$X(w)$X(w)从$X_s(w)$Xs​(w)中完整地提取出来，即
$X(w)=X_s(w)G(w)$X(w)=Xs​(w)G(w)
根据傅里叶时域卷积性质，有
$x(t)=x_s(t)*g(t)$x(t)=xs​(t)∗g(t)
而从表2-2可知
$g(t)=Sa(\frac{w_s}{2}t)$g(t)=Sa(2ws​​t)
所以求得
$x(t)=\sum_{n-\infty}^{\infty}x(nT_s)\delta(t-nT_s)*Sa(\frac{w_s}{2}t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa(\frac{w_s}{2}(t-nT_s))$x(t)=n−∞∑∞​x(nTs​)δ(t−nTs​)∗Sa(2ws​​t)=n=−∞∑∞​x(nTs​)Sa(2ws​​(t−nTs​))
如果正好取$w_m=\frac{1}{2}w_s$wm​=21​ws​，则有
$x(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}x(nT_s)Sa[w_m(t-nT_s)]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)\frac{sinw_m(t-nT_s)}{w_m(t-nT_s)} \tag{2}$x(t)=−∞∑∞​x(nTs​)Sa[wm​(t−nTs​)]=n=−∞∑∞​x(nTs​)wm​(t−nTs​)sinwm​(t−nTs​)​(2)
上式说明，如果知道连续时间信号的最高角频率$w_m$wm​，则在采样频率$w_s\geq 2w_m$ws​≥2wm​的条件下，把各抽样样本值$x(nT_s)$x(nTs​)代入式（2），就能无失真地求得原信号$x(t)$x(t)。原信号的恢复过程可用下图表示。

由于$x(nT)Sa[w_m(t-nT_s)]$x(nT)Sa[wm​(t−nTs​)]是一个以nT为中心呈偶对称的衰减正弦函数，除中心点为峰值外，还具有等间隔的过零点，可以求得，该间隔正好是采样间隔$T_s$Ts​，因此在某一采样时刻（例如$t=3T_s$t=3Ts​），除了取峰值为1的$Sa[w_m(t-nT)]$Sa[wm​(t−nT)]（例如n=3）外，其它各$Sa[w_m(t-nT)]$Sa[wm​(t−nT)]（例如$n\neq 3$n​=3）均为零，所以有$x(t)=x(nT_s)$x(t)=x(nTs​)（例如n=3），即每个采样时刻能给出准确的$x(t)$x(t)值，而非采样时刻，式（2）中的各项均不为零，样本点之间任意时刻的$x(t)$x(t)由无限项的和决定，所以通常把式（2）称为恢复连续时间信号的内插公式。

时域采样定理表明，为了保留原连续信号某一频率分量的全部信息，至少对该频率分量一个周期采样两次。由此可以理解为对于快变信号要提高采样频率，但是并不能认为采样频率越高越好，采样频率过大，一方面会增加计算机内存的占用量，另一方面还会造成采样过程不稳定。

对于不是带限的信号，或者频谱在高频段衰减较慢的信号，可以根据实际的情况采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，用一截止频率为$w_c$wc​的低通滤波器对信号$x(t)$x(t)进行抗混叠滤波，将不需要的或不重要的高频成分去除，然后再进行采样和数据处理。

3. 频域采样定理

与时域采样定理相对应，对于一个具有连续频谱的信号，如果在频域进行采样，也存在一个是否能准确地恢复原信号连续频谱的问题。先考虑原时域信号$x(t)$x(t)的频谱为$X(w)$X(w)，即
$x(t) \overset{F}{\leftrightarrow} X(w)$x(t)↔FX(w)
对$X(w)$X(w)在频域的采样，同样可视为一个将$X(w)$X(w)进行频域冲激串调制的过程，即
$X_p(w)=X(w)P(w) \tag{1}$Xp​(w)=X(w)P(w)(1)
其中$p(w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_0)$p(w)=∑k=−∞∞​δ(w−kw0​)，是采样间隔为$w_0=\frac{2\pi}{T_0}$w0​=T0​2π​的频域单位冲激串，它所对应的时域信号为
$p(t)=\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0)$p(t)=w0​1​k=−∞∑∞​δ(t−kT0​)
由傅里叶变换的时域卷积性质，式（1）对应的时域形式为
$x_p(t)=x(t)*\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(t-kT_0)=\frac{1}{w_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}x(t-kT_0) \tag{2}$xp​(t)=x(t)∗w0​1​k=−∞∑∞​δ(t−kT0​)=w0​1​k=−∞∑∞​x(t−kT0​)(2)
上式的推导用到任意函数与冲激函数卷积的式子：$x(t)*\delta(t-t_0)=x(t-t_0)$x(t)∗δ(t−t0​)=x(t−t0​)。式（2）表明当信号频谱$X(w)$X(w)以$w_0$w0​的采样间隔进行采样，它对应的时域信号$x_p(t)$xp​(t)是以$T_0$T0​为周期对原信号$x(t)$x(t)进行周期延拓，当然信号的幅度要乘上$\frac{1}{w_0}$w0​1​的因子，如下图所示。这一结论与时域信号的采样完全形成对偶关系。

$x(t)= \begin{cases} x(t) & |t|\leq t_m \\ 0 & |t| > t_m \end{cases}$x(t)={x(t)0​∣t∣≤tm​∣t∣>tm​​
只有当$T_0\geq 2t_m$T0​≥2tm​或$w_0 \leq \frac{2\pi}{t_m}$w0​≤tm​2π​时，$x_p(t)$xp​(t)不会发生波形混叠，有可能从$x_p(t)$xp​(t)中不失真地截取出原信号$x(t)$x(t)，相当于在频域从采样的$X_p(w)$Xp​(w)中准确地恢复原信号的连续频谱$X(w)$X(w)。因此，可以归结出频域采样定理：

对于一个长度为$2t_m$2tm​的时限信号，为了能够从频域样本集合完全恢复原信号的频谱，其频域的采样间隔必须满足$w_0\leq \frac{\pi}{t_m}$w0​≤tm​π​。

与连续时间信号的恢复类似，为了恢复原信号$x(t)$x(t)的连续频谱$X(w)$X(w)，可以将其周期延拓的信号$x_p(t)$xp​(t)乘上时域窗函数$g(t)$g(t)
$g(t)= \begin{cases} w_0 & |t| \leq \frac{T_0}{2} \\ 0 & |t|>\frac{T_0}{2} \end{cases}$g(t)={w0​0​∣t∣≤2T0​​∣t∣>2T0​​​
它将原信号$x(t)$x(t)从$x_p(t)$xp​(t)中完整地提取出来，即
$x(t)=x_p(t)g(t)$x(t)=xp​(t)g(t)
根据傅里叶频域卷积性质，有
$X(w)=\frac{1}{2\pi}X_p(w)* G(w)$X(w)=2π1​Xp​(w)∗G(w)
式中，$X_p(w)=X(w)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-kw_0)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)\delta(w-kw_0)$Xp​(w)=X(w)∑k=−∞∞​δ(w−kw0​)=∑k=−∞∞​X(kw0​)δ(w−kw0​)。又因为
$G(w)=2\pi Sa(\frac{wT_0}{2})$G(w)=2πSa(2wT0​​)
所以得
$X(w)=\frac{1}{2\pi}[\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)\delta(w-kw_0)]*[2\pi Sa(\frac{wT_0}{2})] \\ =\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)Sa[\frac{T_0}{2}(w-kw_0)]$X(w)=2π1​[k=−∞∑∞​X(kw0​)δ(w−kw0​)]∗[2πSa(2wT0​​)]=k=−∞∑∞​X(kw0​)Sa[2T0​​(w−kw0​)]
这就是频域内插公式，如果正好取$t_m=\frac{T_0}{2}$tm​=2T0​​，则有
$X(w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(kw_0)Sa[t_m(w-kw_0)]=\sum_{-\infty}^{\infty}X(kw_0)\frac{sint_m(w-kw_0)}{t_m(w-kw_0)}$X(w)=k=−∞∑∞​X(kw0​)Sa[tm​(w−kw0​)]=−∞∑∞​X(kw0​)tm​(w−kw0​)sintm​(w−kw0​)​
频域内插公式表明：在频域中，每个采样样本能给出准确的$X(w)$X(w)值，而非样本值的$X(w)$X(w)由无限项之和决定的。

从时域采样及其内插恢复和频域采样及其内插恢复，我们可得出时域和频域的一个重要对应关系：频域的带限信号在时域是非时限的，时域的时限信号在频域是非带限的。