拉格朗日小传及其代数思想理论、应用
国内喜欢出版一些好大喜功的传记，对于拉普拉斯、拉格朗日等数学家的生平很少见到系统研究的传记作品，更不用说他们的思想体系及基础了。
希望不久的将来，能有科研工作者注意到这个领域。
以后有精力，我自己也会详细调研。这些大数学家的思想构建了普通人的思维方式，对哲学、科技甚至文学的发展都起到基石作用，了解他们更方便我们深刻、系统掌握看似繁杂的数学工具。
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代数发展史上的明珠
代数理论从一元一次方程到现在的伽罗瓦群论代数方程，历经四千多年。其中关键人物有：
米拉子米，783-850
卡尔达诺，1501-1576
费拉里，1522-1565
拉格朗日，1736-1813
阿贝尔，1802-1829
伽罗瓦，1811-1832
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拉格朗日生平1
1736.1.25出生于意大利都灵城。父辈是居住在意大利的法国人。
成长于法国资产阶级启蒙思想家的著作中，17岁转向数学，研究变分法（在当时是数学的一个崭新分支），开创了变分法问题分析形式的一般解法，并用于分析力学。
变分法经过牛顿、莱布尼兹、伯努利、罗彼塔、惠更斯…发展，在1744年由欧拉汇总出版《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》实现一般化处理。也是变分法成为一个数学分支的标志。但是“变分法”这一名称，是拉格朗日在与欧拉的通信中提出的。
1765年开始研究数论，证明了数论中多项定理：Fermat断言、Wilson定理…
微积分方面：拉格朗日中值定理、拉格朗日方程、拉格朗日余项、尝试重建微积分基础（微积分代数化）。他认为微积分实际上是一种以无穷项多项式（无穷级数）为对象的代数，因此关于微积分概念的基础应该建立在其严密性毋庸置疑的代数学上。虽然日后被证明是错误的。
1767-1777，重点在代数方程，1771年发表了著名的《关于代数方程解的思考》。引进对称多项式理论、置换理论、预解式理论，指出根的排列理论是“整个问题的真谛”。
微分方程领域是拉格朗日贡献重点，包括线性微分方程组中线性变换的特征值概念。
偏微分方程的研究主要在流体力学。
历史提供了现实成果的雏形，不了解雏形及其发展，是很难深刻理解现实的。
1788年，《分析力学》出版，1811年再版的第一卷问世，第二卷尚未再版，1813.4.11年拉格朗日离世，拉普拉斯以参议院名义致辞，4.13葬于巴黎万神殿。
1787年8月离开柏林，来到巴黎，1789年巴士底监狱被攻陷。1789.5法国国民议会成立，科学院下设度量衡委员会由拉格朗日领导，建立了现在沿用的十进制“米突”，用于长度、面积、容量、货币…1799年，雾月政变，拿破仑上台。
严格遵守所在国的法令，不管这种法令是否正确。
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《关于代数方程解的思考》
拉格朗日对代数方程有两大贡献：
- 置换思想—观察到解方程与根的置换之间存在关系
- 辅助方程—借助于辅助方程，我们可以求解高次方程
拉格朗日在1770-1771年发表的论文《关于代数方程解的思考》中绘制了一个完整的代数方程理论发展路线图2。
文章中拉格朗日提到：我将讨论迄今位置有关代数方程解法的各种方法，并将其推广到一般的情形，同时展示为什么这些方法能够成功的应用于三次、四次方程，但是对更高次的方程不再适用。
这段话，恰似拉普拉斯对概率论所做的工作，拉普拉斯在作品中集合了当时有关概率论的所有知识，并正式讲“概率论”作为一门学科系统阐述。是概率论转折点的集大成者。
拉格朗日就是代数世界的转折点上的集大成者。
论文中明确提出“不可能用根式解四次以上的方程”。解二、三、四次方程所依据的情况对于五次及以上高次方程是不适用的。
这本著作也被认为是群论的先驱，其中置换概念的引进更是代数方程根式可解性理论的里程碑3。
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辅助方程理论4
拉格朗日之前，代数经过卡尔达诺、费拉里、欧拉、贝祖…已经取得了三次、四次方程的不同解法，拉格朗日将各种解法一般化，因为他们具有相同的解题基础，而这个基础对五次及以上却失效了。
这个一般化的解法就是其提出的辅助方程理论：
求解二次方程需要先解答一个一次辅助方程，该辅助方程的解为原方程根的函数，并且该函数在原二次方程根的置换下智能取得一个值。
解答三次方程需要先解答一个二次辅助方程，该辅助方程的解为原方程根的函数，并且该函数在原三次方程根的置换下只能取得两个值。
求解四次方程也是一样。
辅助方程理论的核心是确定次数，
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置换思想的出现
解高次方程的关键是求解它的辅助方程，所以确定辅助方程的次数至关重要。
辅助方程的次数，依赖于根的表达式（预解式）在原方程的根下置换出不同值的个数。预解式：原代数方程根的一个函数，是启发式寻找的。
所谓置换：指的是预解式在原方程根下做置换（“换”指的是“换根”），将不同的根放入预解式不同位置，得到预解式的不同表达式。不同的次数，就是辅助方程的次数。
解方程的思想流程成为5：
以四次方程为例具体步骤为：