PART ONE: CRC原理

二、CRC算法实现

2.1 编码电路

对于编码电路我们采用了串行实现和并行实现两种方式。这两种实现方式各有优缺点，我们在Quartus II下对这两种实现方式分别进行了综合，发现其运行效率和占用面积之间的关系如下表2所示：

表2 串行CRC与并行CRC的比较

	速度（bits/cycle）	面积（total logic elements）
串行CRC	一次1bit	21
串行CRC	一次16bit	56

从上表我们不难看出串并行电路有着各自的特点，接下来我们将逐一介绍。

2.1.1串行实现

串行电路的实现是基于移位寄存器（LFSR），其过程类似于如图1.2所示的竖式计算：

1. 每次计算得到的余数，都与除数相异或；
2. 得到的结果进行右移，低位以data_in补足；
3. 若右移后最高位仍为0，则下个时钟周期继续右移；
4. 若右移后最高位为1，则与除数相异或得到新一轮的余数。
   按照上述过程描述，我们不难给出其移位寄存器（LFSR）的硬件实现如下图2.1所示：

图2.1 LFSR实现的CRC串行电路

其中LFSR需要添加反馈支路，只需要根据生成多项式中“1”的位置添加。例如图2.1所描述的CRC编码电路对应的生成多项式就是

$1,0001,0000,0010,0001 = x ^ {16} + x ^ {12} + x ^ {5} + 1$1,0001,0000,0010,0001=x16+x12+x5+1

我们不难发现图2.1中的反馈正是添加在12、5这两个中间节点前面的。
因此，我们从上面的分析中不难发现串行实现的电路具有以下特征：

1. 电路直观，只需要根据生成多项式中“1”的位置添加反馈支路；
2. 节省面积，不需要并行电路中大量的异或门阵列；
3. 但是计算速度较慢，一个周期只能输入1bit的数据；

2.1.2 并行实现

假设我们需要一个时钟周期输入k比特个信息位，那么上面的算法就需要进行调整。但我们首先还是可以用串行法的思想，在算法上先得到len_data位数据的crc结果，在MATLAB平台，我们结合了串行算法的思想，实现了并行度为len_data的模二除过程，如图2.2所示：

图2.2 模2除法的算法实现(基于串行CRC)

基于上述模2除，我们可以把一定并行度的并行实现由串行实现等效转换过来，最终得到的结果如图2.3所示：

图2.3 并行CRC的数据关系

不难发现，新一轮时钟周期的newcrc，由输入数据d和前一轮时钟周期的crc进位信号c之间相异或构成。也就是说我们可以把newcrc看成分块矩阵。

$old_{crc} = \left[\begin{matrix}data & new_{crc} \end{matrix}\right]$oldcrc​=[data​newcrc​​]

图2.4 并行CRC的异或门树

其中，$data$data矩阵是一个$len_{crc}\times len_{data}$lencrc​×lendata​大小的矩阵，$old_{crc}$oldcrc​矩阵是一个$len_{crc}\times len_{crc}$lencrc​×lencrc​的方阵。整个$newcrc$newcrc的元素由0和1构成。因此，本项目的并行实现将主要目标定在求解$data$data矩阵和$crc$crc矩阵上。如图2.4所示，最终实现的并行CRC看起来就像一个异或门树。
从上面的分析我们不难看出并行实现的CRC具有以下特点：

1. 每一位crc校验位的结果，都由一个多输入异或门得到，整个校验位的生成电路就看起来是一个异或门树
2. 可以在一个时钟周期同时处理多个数据位，处理速度快
3. 但所占面积比串行电路大

2.2解码电路

解码和纠错的原理主要是将数据位和校验位，一并除以生成多项式，其余数一定为0。针对这个原理我们可以提出两种纠错方案，如图2.5所示。本项目主要采取了左侧的接受方案。

图2.5 两种CRC接受方案

因为我们可以在数学上可以证明，余数和发生错误的位数之间存在一一对应关系，且该关系只和生成多项式有关，而和数据无关。利用该对应关系，我们可以建立一个ErrorBitMap映射表，该表的产生仅仅与生成多项式有关，我们可以将接受到的码字除以生成多项式，得到的余数去查表，并实现纠错。
如图2.6所示，我们列出了两种生成多项式1011和1101的余数-错误位置映射表，可以发现它们都是一一对应的关系。

图2.6 余数和错误位置的一一对应关系示意图

具体的纠错步骤可以概括如下：

1. 数据输入编码电路，生成len_crc位的校验码，附加在数据后面
2. 解码电路输入上述的data+crc，除以生成多项式，计算余数
3. 首先由生成多项式，产生ErrorBitMap
4. 根据余数，查表看是否有错，并得知哪一位出错
5. 错误位取反后输出

先更新到这儿，关于硬件实现部分PART 3见