第二周、逻辑函数的表示方法及其相互转换

一个逻辑函数可以用真值表、表达式、逻辑图、波形图
等方法来表示。既然它们都是表示同一种逻辑关系，显然可以
互相转换 。

1. 由真值表写逻辑式
2. 由表达式画逻辑图
3. 由函数表达式求真值表
4. 已知逻辑图写逻辑表达式
5. 由真值表画波形图
6. 由波形图求逻辑真值表

逻辑代数的公式和运算规则

1、基本公式

范围说明	名称	逻辑与（非）	逻辑或
常量与变量的关系	0－1律	A · 0 = 0	A +0 = A
		A · 1= A	A +1 =1
和普通代数相似规律	交换律	A· B = B · A	A + B = B + A
	结合律	A · (B ·C) = (A · B) ·C	A + (B + C) = (A + B) + C
	分配律	A·(B + C) = AB + AC	A · B +C = (A + B)(A + C)
逻辑代数的特殊规律	互补律	A · A’ = 0	A + A’ =1
	重叠律	A·A = A	A + A = A
	反演律(摩根定律)	(AB)’ = A’ + B’	(A + B) ‘= A’ ·B’
	还原律	(A’)’ = A

2、常用公式

1. A+AB=A
2. AB`+AB=A
3. A+A`B = A+B
4. AB+A` C+BC = AB+A`C
5. (AB`+A`B)`=AB+A` B`

3、逻辑代数的基本运算规则

1. 代入规则：将等式两边同时出现的某一变量都以一个相同的逻辑函数代入，则等式仍然成立，这一规则称为代入规则。
2. 反演规则：对于任何一个逻辑式Y，如果将其中所有的“”变为“+”，“+”变为“”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量。就可得到函数Y的反函数。

Y = ( A ‾ B + C ) C D ‾ Y ‾ = ( A ‾ + B ) ⋅ C ‾ + C ‾ + D ‾ ‾ = A ‾ ⋅ C ‾ + B ⋅ C ‾ + C ⋅ D Y = (\overline A B+C) \overline{CD} \\ \overline Y =(\overline A+B)\cdot \overline C+\overline{\overline C+\overline D}= \overline A\cdot \overline C+B\cdot \overline C+C\cdot D Y=(AB+C)CDY=(A+B)⋅C+C+D​=A⋅C+B⋅C+C⋅D

3. 对偶规则：对于任何一个逻辑式Y，如果将其中所有的“”变为“+”，“+”变为“”；“0”换成“1 ”，“1”换成“0”，并保持原来的运算顺序，则得到Y的对偶式 Y `。 Y`与 Y互为对偶函数式。

( A + A B ) = A A ( A + B ) = A (A+AB) = A\\ A(A+B) = A (A+AB)=AA(A+B)=A

公式法化解

常用的公式法化简

方法名称	所用公式	说明
并项法	AB '+AB = A	将两项合并为一项，并消去一 个因子。
吸收法	A + AB = A	将多余的乘积项吸收掉
消去法	A + A’B = A + B	(1)消去乘积项中多余的因子;
	AB + A’C + BC = AB + A’C	(2)消去多余的项。
配项法	A + A’ =1	(1)用该式乘某一项，可使其变 为两项，再与其它项合并化简；
	A ·A = 0 A + A = A	(2)用该式在原式中配重复项或 互补项，再与其它项合并化简。

逻辑函数的卡诺图化简

1、逻辑函数的最小项表达式

1.1、最小项

1. 最小项的含义：对于一个n变量函数，如果其与或表达式的每一个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别以原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次且仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项。
2. 最小项的编号：若ABC三变量，ABC`的编号则为M ₁₁₀ .
3. 逻辑相邻最小项:如果两个最小项只有一个变量取值不同，则称为逻辑相邻最小项 。

1.2、最小项的性质

1. 任何一组变量取值下，只有一个最小项的值为1，其余均为0 。
2. 任何两个不同的最小项之积为0 。
3. 全部最小项之和为1，即

∑ i = 0 2 n − 1 m i = 0 ( 其 中 n 为 变 量 数 ) \sum_{i=0}^{2^n-1}m_i=0 (其中n为变量数) i=0∑2n−1​mi​=0(其中n为变量数)

4. 两相邻最小项之和可以合并为一项，且消去一个因子。如

m 0 + m 4 = A ‾ B ‾ C ‾ + A B ‾ C ‾ = B ‾ C ‾ m_0+m_4 = \overline A\overline B\overline C + A\overline B\overline C =\overline B\overline C m0​+m4​=ABC+ABC=BC

1.3、逻辑函数最小项表达式

全部由最小项组成的与或式为最小项表达式。最小项表达式可以写成变量形式,如 ：
Y = A ‾ B C + A B ‾ C + A B C ‾ Y =\overline A B C + A\overline B C + A B\overline C Y=ABC+ABC+ABC
也可用最小项编号表示。如 ：
Y ( A , B , C ) = m 3 + m 5 + m 6 Y (A, B,C) =m_3 + m_5 + m_6 Y(A,B,C)=m3​+m5​+m6​
或
Y ( A , B , C ) = ∑ m ( 3 , 5 , 6 ) = ∑ ( 3 , 5 , 6 ) Y (A, B,C) =\sum m(3,5,6) = \sum (3,5,6) Y(A,B,C)=∑m(3,5,6)=∑(3,5,6)

2、逻辑函数的卡诺图表示

2.1、卡诺图画法

2.2、卡诺图的特点

1. 上下边界、左右边界、以对称轴对称的位置、紧挨着的最小项均为逻辑相邻最小项 。如m₀和m₁、 m₄、m₂为逻辑相邻 ；
2. 变量位置是以高位到低位排列，如A、B、 C、D ，按先行后列的顺序排列。排在不同位置的变量因其位权不同，其取值影响最小项编号的大小；
3. 变量取值为1的区域为原变量区（标以原变量如A），取值为0的区域为反变量区（标以反变量如 A`或不标出）；
4. 所有几何位置相邻的最小项也逻辑相邻，如m₀和m₁、 m~4 ~ 。

2.3、用卡诺图表示逻辑函数

既然任何一个函数都能表示为若干最小项之和的形式，而最小项在卡诺图上又对应特定位置，自然就可以用卡诺图来表示逻辑函数了。那么如何填卡诺图呢？方法有两个：化成最小项法和观察法。

1. 化成最小项法 ：把逻辑式通过配项法写成最小项表达式，表达式中包含的最小项在卡诺图中对应的方格中填1，不包含的最小项在对应方格中填0（0也可以不填）。
2. 观察法 ：先将函数式转换成与或表达式，找出每一个乘积项使函数Y为1的条件，即乘积项中各变量的交集，并在相应位置填1。

3、用卡诺图化简逻辑函数

​ 两个逻辑相邻的最小项之和可以合并为一项，且消去一个因子。所以在卡诺图中两个位置相邻方格的最小项之和亦可合并化简,得到简化的函数式 ,这种化简函数的方法称为卡诺图法。

3.1、合并最小项的规则

1. 两个函数值为1的相邻方格（最小项）可以合并成一项，并消去那个不同的一个因子，保留公因子;
2. 四个函数值为1的相邻并排成矩形的方格（最小项）可以合并成一项，并消去两个因子 ;
3. 八个函数值为1的相邻并排成矩形的方格（最小项）可以合并成一项，且消去三个因子;

2ⁿ个函数值为1的相邻并排列成矩形的方格（最小项）可以合并成一项，并消去n个因子，合并结果是保留这些项的公因子。

3.2、用卡诺图化简逻辑函数的步骤

1. 首先将逻辑函数变换成与或表达式；
2. 画出逻辑函数的卡诺图；
3. 用圈将那些函数值为1的可以合并的最小项 (2ⁿ个)包围起来，并找出其公因子；
4. 每个圈对应一个乘积项（即公因子），将所有乘积项相加就得到化简后的与或式。

注意点：

1. 圈要最大且必须是2的整数次幂；
2. 圈的个数要最少；
3. 1可以重复利用，但每个圈都要有其它圈没有包围过的最小项，以免出现多余项；
4. 不能遗漏任何一个函数值为1的最小项。

4、具有无关项的逻辑函数及其化简

4.1、无关项的含义及其表示

1. 完全描述的逻辑函数 : 对于自变量的所有取值组合，函数值是完全确实的，不是0就是1 ,可写成

Y = ∑ m Y=\sum m Y=∑m

2. 非完全描述的逻辑函数 ：由于受实际条件的限制，输入变量的某些取值组合不会在电路中出现，或者某些取值组合所产生的输出不影响整个电路的工作情况 ，这样的逻辑函数为非完全描述的逻辑函数 ，可写成

Y = ∑ m + ∑ d Y=\sum m+\sum d Y=∑m+∑d

3. 约束项:由于逻辑变量之间具有一定的约束关系，使得有些变量的取值不可能出现，它所对应的最小项恒等于0。
4. 任意项: 是在某些变量取值下，函数值为1或为0均可，并不影响电路的逻辑功能。

4.2、无关项在卡诺图化简函数中的应用

述的逻辑函数 ，可写成

Y = ∑ m + ∑ d Y=\sum m+\sum d Y=∑m+∑d

3. 约束项:由于逻辑变量之间具有一定的约束关系，使得有些变量的取值不可能出现，它所对应的最小项恒等于0。
4. 任意项: 是在某些变量取值下，函数值为1或为0均可，并不影响电路的逻辑功能。

4.2、无关项在卡诺图化简函数中的应用

无关项在画圈时，既可以当作“1”画在包围圈内，也可以当作“0”不圈。目的是使画出的包围圈最大、个数最少。