该论文是实验室师兄最新发表于WCL(IEEE Wireless Communication Letters)的一篇论文(tql ！！！)。这种采用深度学习与BF结合的方法给了我很大的启发。（膜拜，嘿嘿！）
IEEE link：https://ieeexplore.ieee.org/document/8847377/
Arxiv link: https://arxiv.org/abs/1904.03657
Code Guithub(记得关注师兄github以及本****账户，博主更新不易，需要支持！): https://github.com/TianLin0509/BF-design-with-DL

背景

混合波束赋形（HBF）已经得到了广泛的研究，它在有效抵消毫米波严重路径损耗与降低大规模MIMO系统开销方面有十分重要的意义。一些传统的方法，大多是基于凸优化、矩阵论、最优化理论等等（可以参考本博主混合波束赋形专栏）的设计。而最近通过深度学习的方法来处理这种传统问题引起了人们的关注。

系统模型

考虑下图的下行窄带MISO系统，采用HBF架构。

重要的一些参数（其余请参照论文）：
$\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}$vRF​：维度为$N_{\mathrm{t}} \times 1$Nt​×1的模拟预编码
$v_D$vD​： 数字预编码权值（标量）
$\mathbf{h}$h ：维度为$1 \times N_{\mathrm{t}}$1×Nt​ 的信道矩阵

该系统的SE（Spectral Efficiency）：
$R=\log _{2}\left(1+\frac{1}{\sigma^{2}}\left\|\mathbf{h}^{H} \mathbf{v}_{\mathrm{RF}} v_{\mathrm{D}}\right\|^{2}\right)$R=log2​(1+σ21​∥∥​hHvRF​vD​∥∥​2)
其中，最大发送功率约束为：$\left\|\mathbf{V}_{\mathrm{RF}} v_{\mathrm{D}}\right\|^{2} \leq P$∥VRF​vD​∥2≤P，$\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}$vRF​受到恒定模量约束：$\left|\left[\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}\right]_{i}\right|^{2}=1$∣[vRF​]i​∣2=1。可以证明，最优$v_D$vD​是$\sqrt{P / N_{t}}$P/Nt​​，即满足最大功率约束。
此时，BF的设计问题可以表示为：
$\begin{aligned} &\underset{\mathbf{v}_{\mathbf{R F}}}{\operatorname{minimize}} \quad \log _{2}\left(1+\frac{\gamma}{N_{t}}\left\|\mathbf{h}^{H} \mathbf{v}_{\mathbf{R F}}\right\|^{2}\right)\\ &\text { subject to } \quad\left|\left[\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}\right]_{i}\right|^{2}=1, \quad \text { for } i=1, \ldots, N_{\mathrm{t}} \end{aligned}$​vRF​minimize​log2​(1+Nt​γ​∥∥​hHvRF​∥∥​2) subject to ∣[vRF​]i​∣2=1, for i=1,…,Nt​​
其中，$\gamma=\frac{P}{\sigma^{2}}$γ=σ2P​代表信噪比（SNR）。由于SNR一般认为可以比CSI更加准确的估计，因此作者假设$\gamma_{\text {est }}=\gamma$γest ​=γ。

文章贡献

文章贡献如下：

• 新的设计方法：利用估计的CSI作为BFNN输入，直接输出最优beamforming权值
• 新颖的Loss函数：创新性地提出了与SE十分相关的一个Loss函数
• 对于非理性CSI的鲁棒性：提出了一种两阶段设计方法，利用估计的CSI作为输入，让BFNN学会接近理想CSI下的SE。在线部署阶段，BFNN能够适应非理性CS实现对信道估计误差的鲁棒性。

NN（Neural Network）设计

一些挑战

BFNN的设计存在以下几个挑战：

1. BFNN的输入应该是什么？大多基于深度学习的工作是将接收到的基带信号作为输入，而接收信号本身也是$\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}$vRF​的函数需要去优化。同时接收信号维度太低。
2. 如何保证BFNN的输出$\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}$vRF​满足约束？大多深度学习（Deep Learning）如，tensoflow、pytorch框架并不支持复数输出。因此对输出施加恒模约束很困难。
3. 训练BFNN的时候如何打标签？大多传统的智能通信系统设计，标签是设定为传输比特或理想CSI。对于BF设计很难找到一个合适的标签（首先，目前到这篇博文为止无世界上最优的HBF，只有更优的HBF设计…其次，如果采用的传统HBF算法的$\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}$vRF​为标签，无论怎么设计也不可能优于传统算法）

作者的精彩应对：

1. BFNN的输入：估计的信道矩阵$\mathbf{h}_{\mathrm{est}}$hest​,估计的信噪比$\gamma_{\text {est }}$γest ​作为输入。
2. Lamda层满足恒模约束：经典的、完美的欧拉公式$\mathbf{v}_{\mathrm{RF}}=\exp (\mathrm{j} \cdot \boldsymbol{\theta})=\cos (\boldsymbol{\theta})+\mathbf{j} \cdot \sin (\boldsymbol{\theta})$vRF​=exp(j⋅θ)=cos(θ)+j⋅sin(θ)将相位$\boldsymbol{\theta}$θ作为在最后一个Dense层的输出，然后添加一个基于欧拉公式的Lamda层满足恒模约束。（虽然理论公式简单…但是这种想法太妙，使得输出自然满足恒模约束！tql）
3. Loss 函数：在作者的设计中不需要标签，直接将Loss函数定义为：
   $\text { Loss }=-\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \log _{2}\left(1+\frac{\gamma_{n}}{N_{\mathrm{t}}}\left\|\mathbf{h}_{n}^{H} \mathbf{v}_{\mathrm{RF}, n}\right\|^{2}\right)$ Loss =−N1​n=1∑N​log2​(1+Nt​γn​​∥∥​hnH​vRF,n​∥∥​2)
   其中$N$N是训练样本总个数，$\gamma_{n}$γn​，$\mathbf{h}_{n}$hn​和$\mathbf{v}_{\mathrm{RF},n},$vRF,n​,分别代表第$n$n个样本的SNR、CSI和输出模拟波束赋形权值。（注意：Loss函数的减少正好对应着平均SE的增加！）

两阶段设计方法

作者提出了两阶段设计方法，如下图所示：

1. 离线训练阶段：通过仿真，产生信道样本（理想CSI）、传输导频信号，噪声样本。然后在BS端实际的毫米波信道估计器利用获得部分的CSI（非理想CSI）。将估计的信道矩阵$\mathbf{h}_{\mathrm{est}}$hest​,估计的信噪比$\gamma_{\text {est }}$γest ​作为BFNN的输入然后输出最优$\mathbf{v}_{\mathrm{RF},n},$vRF,n​,最小化Loss函数。这里直接将理想CSI和SNR作为Loss的输入，这样做的好处是BFNN可以通过训练学会如何尽可能接近基于理想CSI下的SE从而对信道估计误差产生鲁棒性！
2. 在线部署阶段：实际的在线部署，BFNN的所有参数已被训练完毕并且固定，同时接收非理想CSI作为输入，直接输出模拟波束赋形权值。

仿真性能

考虑一个$N_{\mathrm{t}}=64$Nt​=64的MISO系统。将估计的基带等效信道矩阵$\mathbf{h}_{\mathrm{est}}$hest​拆分为实部和虚部同时与$\gamma_{\text {est }}$γest ​串联而成一个$\left(2 N_\text{t}+1\right) \times 1$(2Nt​+1)×1实值输入向量。三个Dense层分别有256、128和64个神经元。为了增强收敛性，每个Dense层之前连接一个batch-normalization层。最后，添加一个Lamda层使得最后的输出满足恒模约束，整个BFNN的细节如下图。

在实验中，训练、验证、测试集分别包含了$10^{5}$105，$10^{4}$104和$10^{4}$104个样本。学习速率初始化为0.001，使用Adam优化器。具体的信道生成参照论文。
下图展示了，三种导频信噪比（PNR），即：-20dB,0dB和20dB下,，且估计的信道径数正确。可以看出，在PNR=20dB的时候有一定的增益，在低PNR的时候增加变得更大！

最后一张图考虑了对径数估计存在误差时的情况，实际情况中径数被预设为一个很小的值。同样可以看出，基于BFNN的设计仍然有一个更大的性能改善。

结论

针对采用大规模天线阵列的毫米波系统，作者提出了基于深度学习的BF设计方法。采用自定义的Lamda层和Loss函数很好地处理了存在硬件约束和非理想CSI挑战的毫米波系统设计。仿真结果展示了：相较于传统算法，BFNN设计所带来的性能提升十分具有竞争力！