奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用

转载：刘建平Pinard

---

奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

---

1. 回顾特征值和特征向量

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

$Ax=\lambda x$Ax=λx
　其中A是一个 $n×n$n×n 的实对称矩阵，x是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。
　求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的$n$n个特征值 $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq.....\leq \lambda _{n}$λ1​≤λ2​≤.....≤λn​,以及这n个特征值所对应的特征向量 $\left \{ \omega _{1},\omega _{2},....,\omega _{n} \right \}${ω1​,ω2​,....,ωn​}，如果这$n$n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：$A=W\Sigma W^{-1}$A=WΣW−1
　其中W是这$n$n个特征向量所张成的$n×n$n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的$n×n$n×n维矩阵。
　
　一般我们会把W的这$n$n个特征向量标准化，即满足 $\left \|w_{i} \right \|_{2}=1$∥wi​∥2​=1, 或者说$w_{i}^{T} w_{i}=1$wiT​wi​=1，此时W的$n$n个特征向量为标准正交基，满足$W^{T} W=I$WTW=I，即$W^{T} = W^{-1}$WT=W−1, 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成

$A=W\Sigma W^{T}$A=WΣWT
注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2. SVD的定义

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个 $m×n$m×n 的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

$A=U\Sigma V^{T}$A=UΣVT
其中 $U$U 是一个 $m×m$m×m 的矩阵，$\Sigma$Σ 是一个 $m×n$m×n 的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$V 是一个 $n×n$n×n 的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足$U^{T} U=I$UTU=I, $V^{T} V=I$VTV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：
那么我们如何求出SVD分解后的 $U,Σ,V$U,Σ,V 这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵 $A^{T} A$ATA。既然 $A^{T} A$ATA 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$(A^{T} A)v_i = \lambda v_i$(ATA)vi​=λvi​
这样我们就可以得到矩阵 $A^{T} A$ATA 的n个特征值和对应的n个特征向量 $v$v 了。将$A^{T} A$ATA 的所有特征向量张成一个 $n×n$n×n 的矩阵 $V$V ，就是我们SVD公式里面的 $V$V矩阵了。一般我们将 $V$V 中的每个特征向量叫做 $A$A 的右奇异向量。

如果我们将 $A$A 和 $A$A 的转置做矩阵乘法，那么会得到 $m×m$m×m 的一个方阵$A^{T} A$ATA 。既然 $A^{T} A$ATA 是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

$(A^{T} A)u_i = \lambda u_i$(ATA)ui​=λui​

这样我们就可以得到矩阵 $A^{T} A$ATA 的m个特征值和对应的m个特征向量 $u$u 了。将$A^{T} A$ATA 的所有特征向量张成一个 $m×m$m×m 的矩阵 $U$U ，就是我们SVD公式里面的 $U$U 矩阵了。一般我们将 $U$U 中的每个特征向量叫做 $A$A 的左奇异向量。

$U$U和$V$V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵 $\Sigma$Σ 没有求出了。由于 $\Sigma$Σ 除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值 $\sigma$σ 就可以了。

我们注意到:

$A = U\Sigma V^T\rightarrow AV = U\Sigma V^TV \rightarrow AV = U\Sigma\rightarrow Av_i=\sigma_i u_i\rightarrow\sigma_i=Av_i/u_i$A=UΣVT→AV=UΣVTV→AV=UΣ→Avi​=σi​ui​→σi​=Avi​/ui​

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵 $\Sigma$Σ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说 $A^{T} A$ATA 的特征向量组成的就是我们SVD中的 $V$V 矩阵，而 $AA^{T}$AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的 $U$U 矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

$A = U\Sigma V^T\rightarrow A^{T} = V\Sigma^{T} U^T \rightarrow A^TA = V\Sigma^TU^TU\Sigma V^T =V\Sigma^2V^T$A=UΣVT→AT=VΣTUT→ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT
上式证明使用了:$U^{T} U=1$UTU=1, $\Sigma ^{T}\Sigma = \Sigma ^{2}$ΣTΣ=Σ2。可以看出 $A^{T} A$ATA 的特征向量组成的的确就是我们SVD中的 $V$V 矩阵。类似的方法可以得到 $AA^{T}$AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的 $U$U 矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

$\sigma_i =\sqrt{\lambda_i}$σi​=λi​​
这样也就是说，我们可以不用 $\sigma=Av_i/u_i$σ=Avi​/ui​来计算奇异值，也可以通过求出 $A^{T} A$ATA的特征值取平方根来求奇异值。

3. SVD计算举例

这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵A定义为：

$A={\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}}$A=⎝⎛​011​110​⎠⎞​
我们首先求出 $A^TA$ATA 和 $AA^T$AAT： $A^TA={\begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&1&0\\ \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 2&1\\ 1&2\\ \end{pmatrix}}$ATA=(01​11​10​)⎝⎛​011​110​⎠⎞​=(21​12​)
$AA^T ={\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 0&1&1 \\ 1&1&0\\ \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix} 1&1&0 \\ 1&2&1\\ 0&1&1 \end{pmatrix}}$AAT=⎝⎛​011​110​⎠⎞​(01​11​10​)=⎝⎛​110​121​011​⎠⎞​
进而求出 $A^TA$ATA 的特征值和特征向量：$\lambda_1=3 ;v_1={\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}};\lambda_2=1;v_2={\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}}$λ1​=3;v1​=(1/2​1/2​​);λ2​=1;v2​=(−1/2​1/2​​)
接着求 $AA^T$AAT 的特征值和特征向量：$\lambda_1=3 ;u_1={\begin{pmatrix} 1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6} \end{pmatrix}};\lambda_2=1;u_2={\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2}\\ 0\\ 1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}};\lambda_3=0;u_3={\begin{pmatrix} 1/\sqrt{3}\\ -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{3}\\ \end{pmatrix}}$λ1​=3;u1​=⎝⎛​1/6​2/6​1/6​​⎠⎞​;λ2​=1;u2​=⎝⎛​−1/2​01/2​​⎠⎞​;λ3​=0;u3​=⎝⎛​1/3​−1/3​1/3​​⎠⎞​
利用$Av_i=\sigma_iu_i,i=1,2$Avi​=σi​ui​,i=1,2求奇异值： ${\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}}=\sigma_1{\begin{pmatrix} 1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6} \end{pmatrix}} \rightarrow\sigma_1=\sqrt{3}$⎝⎛​011​110​⎠⎞​(1/2​1/2​​)=σ1​⎝⎛​1/6​2/6​1/6​​⎠⎞​→σ1​=3​
${\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&1\\ 1&0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2}\\ \end{pmatrix}}=\sigma_2{\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2}\\ 0\\ -1/\sqrt{2} \end{pmatrix}} \rightarrow\sigma_2=1$⎝⎛​011​110​⎠⎞​(−1/2​1/2​​)=σ2​⎝⎛​1/2​0−1/2​​⎠⎞​→σ2​=1
当然，我们也可以用 $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i}$σi​=λi​​ 直接求出奇异值为 $\sqrt{3}$3​ 和1.

最终得到A的奇异值分解为：

$A=U\Sigma V^T=\begin{pmatrix} 1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{3} \\ 2/\sqrt{6}& 0 & -1/\sqrt{3}\\ 1/\sqrt{6}& -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{3} &0 \\ 0&1 \\ 0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2}& 1/\sqrt{2} \end{pmatrix}$A=UΣVT=⎝⎛​1/6​2/6​1/6​​1/2​0−1/2​​1/3​−1/3​1/3​​⎠⎞​⎝⎛​3​00​010​⎠⎞​(1/2​−1/2​​1/2​1/2​​)

4. SVD的一些性质

上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

$A _{m*n} = U_{m*m}\Sigma_{m*n}V^T_{n*n} \approx U_{m*k}\Sigma_{k*k}V^T_{k*n}$Am∗n​=Um∗m​Σm∗n​Vn∗nT​≈Um∗k​Σk∗k​Vk∗nT​
其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵 $U_{m*k},\Sigma_{k*k},V^T_{k*n}$Um∗k​,Σk∗k​,Vk∗nT​ 来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。
由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5. SVD用于PCA

在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵 $X^TX$XTX的最大的d个特征向量，然后用这最大的d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵 $X^TX$XTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵 $X^TX$XTX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵 $X^TX$XTX，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

假设我们的样本是m×n的矩阵X，如果我们通过SVD找到了矩阵 $XX^T$XXT最大的d个特征向量张成的 $m×d$m×d 维矩阵 $U$U ，则我们如果进行如下处理：

$X^′_{d*n}=U^T_{d*m}X_{m*n}$Xd∗n′​=Ud∗mT​Xm∗n​
　　　　可以得到一个 $d×n$d×n 的矩阵 $X^′$X′,这个矩阵和我们原来的 $m×n$m×n 维样本矩阵X相比，行数从m减到了d，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6. SVD小结

SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。