奇异值分解(SVD)原理小结

原文链接
  奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。本文就对SVD的原理做一个总结，并讨论在在PCA降维算法中是如何运用运用SVD的。

1、回顾特征值和特征向量

  我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：
$Ax = \lambda x$Ax=λx
  其中$A$A是一个$n×n$n×n的矩阵，$x$x是一个$n$n维向量，则我们说$\lambda$λ是矩阵A的一个特征值，而$x$x是矩阵$A$A的特征值$\lambda$λ所对应的特征向量。
  求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵$A$A的$n$n个特征值$λ_1≤λ_2≤...≤λ_n$λ1​≤λ2​≤...≤λn​,以及这$n$n个特征值所对应的特征向量$\{w_1,w_2,...w_n\}${w1​,w2​,...wn​}，，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：
$A=WΣW^{−1}$A=WΣW−1
  其中$W$W是这$n$n个特征向量所张成的$n×n$n×n维矩阵，而$Σ$Σ为这$n$n个特征值为主对角线的$n×n$n×n维矩阵。

  一般我们会把$W$W的这$n$n个特征向量标准化，即满足$||w_i||^2=1$∣∣wi​∣∣2=1, 或者说$w^{T_i}w_i=1$wTi​wi​=1，此时$W$W的$n$n个特征向量为标准正交基，满足$W^TW=I$WTW=I，即$W^T=W^{−1}$WT=W−1, 也就是说W为酉矩阵。

  这样我们的特征分解表达式可以写成:
$A=WΣW^{T}$A=WΣWT

  注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

2、SVD的定义

  SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵$A$A是一个$m×n$m×n的矩阵，那么我们定义矩阵$A$A的SVD为：
$A=UΣV^T$A=UΣVT
  其中$U$U是一个$m×m$m×m的矩阵，$Σ$Σ是一个$m×n$m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，$V$V是一个$n×n$n×n的矩阵。$U$U和$V$V都是酉矩阵，即满足$U^TU=I,V^TV=I$UTU=I,VTV=I。下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

  那么我们如何求出SVD分解后的$U,Σ,V$U,Σ,V这三个矩阵呢？

  如果我们将$A$A的转置和$A$A做矩阵乘法，那么会得到$n×n$n×n的一个方阵$A^TA$ATA。既然$A^TA$ATA是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$(A^TA)v_i=λ_iv_i$(ATA)vi​=λi​vi​

  这样我们就可以得到矩阵$A^TA$ATA的$n$n个特征值和对应的$n$n个特征向量$v$v了。将$A^TA$ATA的所有特征向量张成一个$n×n$n×n的矩阵$V$V，就是我们SVD公式里面的$V$V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做$A$A的右奇异向量。

  如果我们将$A$A和$A$A的转置做矩阵乘法，那么会得到$m×m$m×m的一个方阵$AA^T$AAT。既然$AA^T$AAT是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：
$(AA^T)u_i=λ_iu_i$(AAT)ui​=λi​ui​

  这样我们就可以得到矩阵$AA^T$AAT的$m$m个特征值和对应的$m$m个特征向量$u$u了。将$AA^T$AAT的所有特征向量张成一个$m×m$m×m的矩阵$U$U，就是我们SVD公式里面的$U$U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做$A$A的左奇异向量。

  $U$U和$V$V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵$Σ$Σ没有求出了。由于$Σ$Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值$σ$σ就可以了。

  我们注意到:
$\begin{aligned} A=UΣV^T&⇒AV=UΣV^TV\\ &⇒AV=UΣ\\ &⇒Av_i=σ_iu_i\\ &⇒σ_i=\dfrac{Av_i}{u_i} \end{aligned}$A=UΣVT​⇒AV=UΣVTV⇒AV=UΣ⇒Avi​=σi​ui​⇒σi​=ui​Avi​​​

   这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵$Σ$Σ。

  上面还有一个问题没有讲，就是我们说$A^TA$ATA的特征向量组成的就是我们SVD中的$V$V矩阵，而$AA^T$AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的$U$U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以$V$V矩阵的证明为例。
$\begin{aligned} A=UΣV^T&⇒A^T=VΣ^TU^T \\ &⇒A^TA=VΣ^TU^TUΣV^T=VΣ^2V^T \end{aligned}$A=UΣVT​⇒AT=VΣTUT⇒ATA=VΣTUTUΣVT=VΣ2VT​
  上式证明使用了:$U^TU=I,Σ^TΣ=Σ^2$UTU=I,ΣTΣ=Σ2。可以看出$A^TA$ATA的特征向量组成的的确就是我们SVD中的$V$V矩阵。类似的方法可以得到$AA^T$AAT的特征向量组成的就是我们SVD中的$U$U矩阵。

  进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：
$\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$σi​=λi​​
$\qquad$这样也就是说，我们可以不用$σ_i=\dfrac{Av_i}{u_i}$σi​=ui​Avi​​来计算奇异值，也可以通过求出$A^TA$ATA的特征值取平方根来求奇异值。

3、SVD计算举例

$\qquad$这里我们用一个简单的例子来说明矩阵是如何进行奇异值分解的。我们的矩阵$A$A定义为：
$A=\left(\begin{array}{} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{array}\right)$A=⎝⎛​011​110​⎠⎞​
$\qquad$我们首先求出$A^TA$ATA和$AA^T$AAT
$A^TA=\left(\begin{array}{} 0&1&1\\ 1&1&0 \end{array}\right) \left(\begin{array}{} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 2&1\\ 1&2 \end{array}\right)$ATA=(01​11​10​)⎝⎛​011​110​⎠⎞​=(21​12​)
$AA^T=\left(\begin{array}{} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{} 0&1&1\\ 1&1&0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{} 1&1&0\\ 1&2&1\\ 0&1&1 \end{array}\right)$AAT=⎝⎛​011​110​⎠⎞​(01​11​10​)=⎝⎛​110​121​011​⎠⎞​
$\qquad$进而求出$A^TA$ATA的特征值和特征向量：
$λ_1=3;v_1=\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right);λ_2=1;v_2=\left(\begin{array}{} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$λ1​=3;v1​=⎝⎜⎛​2​1​2​1​​⎠⎟⎞​;λ2​=1;v2​=⎝⎜⎛​−2​1​2​1​​⎠⎟⎞​
$\qquad$接着求$AA^T$AAT的特征值和特征向量：
$λ_1=3;u_i=\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ \dfrac{2}{\sqrt{6}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right);λ_2=1;u_2=\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0\\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right);λ_3=0;u_3=\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right)$λ1​=3;ui​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​6​1​6​2​6​1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​;λ2​=1;u2​=⎝⎜⎜⎜⎛​2​1​0−2​1​​⎠⎟⎟⎟⎞​;λ3​=0;u3​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​3​1​−3​1​3​1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​
$\qquad$利用$Av_i=σ_iu_i,i=1,2$Avi​=σi​ui​,i=1,2求奇异值：
$\left(\begin{array}{} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)=\sigma_1\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{6}} \\ \dfrac{2}{\sqrt{6}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right) \Rightarrow \sigma_i = \sqrt{3}$⎝⎛​011​110​⎠⎞​⎝⎜⎛​2​1​2​1​​⎠⎟⎞​=σ1​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​6​1​6​2​6​1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⇒σi​=3​
$\left(\begin{array}{} 0&1\\ 1&1\\ 1&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{} -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right) = \sigma_2\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ 0\\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right) \Rightarrow \sigma =1$⎝⎛​011​110​⎠⎞​⎝⎜⎛​−2​1​2​1​​⎠⎟⎞​=σ2​⎝⎜⎜⎜⎛​2​1​0−2​1​​⎠⎟⎟⎟⎞​⇒σ=1
$\qquad$当然，我们也可以用$σ_i=\sqrt{\lambda_i}$σi​=λi​​直接求出奇异值为$\sqrt{3}$3​和1.
$\qquad$最终得到$A$A的奇异值分解为：
$A=UΣV^T=\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{6}}&\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \dfrac{2}{\sqrt{6}} &0 &-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\\ \dfrac{1}{\sqrt{6}} & -\dfrac{1}{\sqrt{2}}&\dfrac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{} \sqrt{3} & 0\\ 0&1\\ 0&0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{} \dfrac{1}{\sqrt{2}}& \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ -\dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$A=UΣVT=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​6​1​6​2​6​1​​2​1​0−2​1​​3​1​−3​1​3​1​​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⎝⎛​3​00​010​⎠⎞​⎝⎜⎛​2​1​−2​1​​2​1​2​1​​⎠⎟⎞​

4、SVD的一些性质

$\qquad$上面几节我们对SVD的定义和计算做了详细的描述，似乎看不出我们费这么大的力气做SVD有什么好处。那么SVD有什么重要的性质值得我们注意呢？

$\qquad$对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：
$A_{m×n}=U_{m×m}Σ_{m×n}V_{n×n}^T≈U_{m×k}Σ_{k×k}V^T_{k×n}$Am×n​=Um×m​Σm×n​Vn×nT​≈Um×k​Σk×k​Vk×nT​
$\qquad$其中$k$k要比$n$n小很多，也就是一个大的矩阵$A$A可以用三个小的矩阵$U_{m×k},Σ_{k×k},V^T_{k×n}$Um×k​,Σk×k​,Vk×nT​来表示。如下图所示，现在我们的矩阵$A$A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

$\qquad$由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。同时也可以用于NLP中的算法，比如潜在语义索引（LSI）。下面我们就对SVD用于PCA降维做一个介绍。

5、SVD用于PCA

$\qquad$在主成分分析（PCA）原理总结中，我们讲到要用PCA降维，需要找到样本协方差矩阵$X^TX$XTX的最大的$d$d个特征向量，然后用这最大的$d$d个特征向量张成的矩阵来做低维投影降维。可以看出，在这个过程中需要先求出协方差矩阵$X^TX$XTX，当样本数多样本特征数也多的时候，这个计算量是很大的。

$\qquad$注意到我们的SVD也可以得到协方差矩阵$X^TX$XTX最大的$d$d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵$X^TX$XTX，也能求出我们的右奇异矩阵$V$V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。

$\qquad$另一方面，注意到PCA仅仅使用了我们SVD的右奇异矩阵，没有使用左奇异矩阵，那么左奇异矩阵有什么用呢？

$\qquad$假设我们的样本是$m×n$m×n的矩阵$X$X，如果我们通过SVD找到了矩阵$XX^T$XXT最大的$d$d个特征向量张成的$m×d$m×d维矩阵$U$U，则我们如果进行如下处理：
$X^′_{d×n}=U^T_{d×m}X_{m×n}$Xd×n′​=Ud×mT​Xm×n​
$\qquad$可以得到一个$d×n$d×n的矩阵$X^′$X′,这个矩阵和我们原来的$m×n$m×n维样本矩阵$X$X相比，行数从$m$m减到了$k$k，可见对行数进行了压缩。也就是说，左奇异矩阵可以用于行数的压缩。相对的，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩，也就是我们的PCA降维。

6、SVD小结

$\qquad$SVD作为一个很基本的算法，在很多机器学习算法中都有它的身影，特别是在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。SVD的原理不难，只要有基本的线性代数知识就可以理解，实现也很简单因此值得仔细的研究。当然，SVD的缺点是分解出的矩阵解释性往往不强，有点黑盒子的味道，不过这不影响它的使用。