施密特正交化的几何意义与推导

对于一组向量，有时候我们需要对其进行正交化处理，也就是说，该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？

假设只有两个向量，$\vec v_0$v0​和$\vec v_1$v1​，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为$\vec w_0$w0​和$\vec w_1$w1​，那么由图可知，可得$\vec w_0 = \vec v_0$w0​=v0​，且有：

$\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}$w1​=v1​−∣w0​∣v1​⋅w0​​

这里减去的部分是向量$\vec v_1$v1​在向量$\vec w_0$w0​上的投影。然后将$\vec w_0$w0​和$\vec w_1$w1​进行归一化，就得到了最终的结果。

那么，如果有三个向量，$\vec v_0$v0​，$\vec v_1$v1​，$\vec v_2$v2​，这种情况要如何处理呢？同样地，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为$\vec w_0$w0​，$\vec w_1$w1​，$\vec w_2$w2​，由图可知，可得$\vec w_0 = \vec v_0$w0​=v0​，且有：

$\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}$w1​=v1​−∣w0​∣v1​⋅w0​​

$\vec w_2 = \vec v_2 - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|} - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_1}{|\vec w_1|}$w2​=v2​−∣w0​∣v2​⋅w0​​−∣w1​∣v2​⋅w1​​

从图中可以看出向量$\vec w_2$w2​即为向量$\vec v_2$v2​减去在$\vec w_0$w0​和$\vec w_1$w1​上的投影。将这三个向量进行归一化即可得到最终的结果。

那么，假如我们有一组向量$\{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \}${v0​,v1​,v2​,...,vn​}，要想求得它们正交化后的向量组$\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}${w0​,w1​,w2​,...,wn​}，步骤如下：

1. 令$\vec w_0 = \vec v_0$w0​=v0​；
2. 计算：$\vec w_i = \vec v_i - \sum_{j = 0}^{i - 1} \dfrac{\vec v_i \cdot \vec w_j}{|\vec w_j |};(1 \leq i \leq n)$wi​=vi​−∑j=0i−1​∣wj​∣vi​⋅wj​​;(1≤i≤n)；
3. 将得到的$\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}${w0​,w1​,w2​,...,wn​}进行正交化。