从贝叶斯公式到贝叶斯判别准则

原来线性判别分析、平方判别分析、朴素贝叶斯这么简单直白。

前方将出现大量数学公式推导证明，为防止烦躁不适，先复习一下几个重要概念。

1.1一维高斯变量X~N(μ,σ2),则概率密度函数

                                           

1.2多维高斯变量 ，X~N(μ,∑) , μ 为p维向量， 为p×p 维的方差协方差矩阵：

                            

1.3贝叶斯公式：

                                                      

P(A|B)表示B事件发生时A事件发生的概率，往往不能直接求，而P(B|A)求起来较为方便。在这里，P(A) 为事件A发生的先验概率（prior probability）（先验概率就是指根据以往经验和分析得到的概率，可以是相对客观或者存在主观偏差的，比如抛硬币在历史上正反面的概率各是1/2，这就是在无数历史实验得到的客观准确概率）。P(A|B)为后验概率（posterior probability），即条件概率。

下面进入正题：对于常见的分类任务（classification），设表示类别的随机变量Y的样本空间{1,2,……，K}，对于样本x 属于第k 类的概率：

                                                   

依据全概率公式将上式分母展开：

                                                     

其中 是随机选择的样本观测值来自第 类的先验概率。

2.1.当 为标量值（scalar）时，

                                     

 

注意到分母对于 都是一样的，其中参数 ,都需要从样本数据集中估计得到。要确定该样本属于哪一类，只有找到使得下式分子最大的k值（防止计算溢出取对数）。

                                                          

如果K=2且 (常见的二分类且样本类别均衡)，分类器将 判定为第一类

                             

的估计如下：

                                                   

                                                            

2.1 Linear Discriminant Analysis

当 为向量时，即随机变量 ， ,

多元随机变量的高斯分布密度函数：

                                       

在此给出与标量情况相同的假设

                            

从上式中可以看出：决策函数 是 的线性函数（所以称为Linear Discriminant Analysis）， 这一项表明样本类别的不均衡可能对条件概率值有影响。

                                

为方便后期写代码，这里把各个向量长度或矩阵维度列一下：

当K=2时并且  (二分类问题)，

                      

2.2Quadratic Discriminant Analysis

当给出更弱的假设：属于第k类观测向量

                             

为方便后期写代码，这里把各个向量长度或矩阵维度列一下：

 

                                  

决策函数与， 相关

2.3Naïve Bayesian Classifier

在计算第k类的概率分布时需要计算协方差矩阵,计算复杂度为O(kp^2)，在这里可以进一步简化，假设 的各个属性独立，由此计算复杂度降为O(kp)：

                                

 

                 

                       

所以剩下的任务就是从样本数据集估计 和 了。

2.4Laplacian correction

为了避免因训练样本不充分导致的概率估值为0，需要进行拉普拉斯修正，设 为训练集D（大小为|D|）中的可能类别数， 为第i属性可能的取值数， 为训练集D中属于第k类的样本数。

                                                        

参考文献：1.《The Elements of Statistical Learning》  2.《The Introduction to Statistical Learning》