一、随机变量

1. 定义

• 设随机试验的样本空间为$S$S，$X=X(e)$X=X(e)是定义在样本空间$S$S上的实值单值函数。称$X=X(e)$X=X(e)为随机变量。
• 本质是关于基本事件的函数，自变量是基本事件，因变量是函数值。

2.相关概念

• 随机试验：满足(1)可重复性:试验在相同条件下可重复进行；(2)可知性:每次试验的可能结果不止一个，并且事先能明确试验所有可能的结果；(3)不确定性:进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现，但必然会出现结果中的一个。
• 样本空间：随机试验的所有基本结果组成的集合称为样本空间。样本空间的元素称为样本点或基本事件。即样本空间本质是一个集合，每一个元素都是一次随机试验的结果。

3.结合栗子来理解

例如常见的“掷骰子”，每一次“掷骰子”都可以看成是一个随机试验。

1. 首先，如何用随机变量描述一个随机试验？
   （1）首先找到样本空间$S$S。这里，很容易就知道该样本空间包含6个基本事件。$S=\lbrace“掷到1”，“掷到2”，“掷到3”，“掷到4”，“掷到5”，“掷到6” \rbrace$S={“掷到1”，“掷到2”，“掷到3”，“掷到4”，“掷到5”，“掷到6”}（2）构造一个映射函数$X=X(e)$X=X(e)。$e$e可以表示样本空间中的任何一种结果。如下图所示，我把“掷到1”这个基本事件$e_1$e1​映射到1 …
   
2. 然后，这样做的好处是什么？

• 随机变量作用是把一个可能的发生结果（基本事件）“映射”到一个数。更加通俗的理解就是给事件进行“编号”。
  

• 进行“编号”是因为样本空间的元素过于复杂或者表达起来不如实数值方便，不方便计算概率。例如我要求“掷到1”这个基本事件的概率，表达如下：
  $P (x=1)=P( \lbrace e\in S|X(e)=1\rbrace)=P( \lbrace “掷到1” \rbrace)$P(x=1)=P({e∈S∣X(e)=1})=P({“掷到1”})

二、样本和随机变量

数理统计里的样本具有二重性，即样本既可以看作是一组观测值又可以看作是随机变量。

• 第一，在抽样之前。无法确定样本的观测值，所以可以看成是随机变量。
• 第二，样本在抽取以后，经观测，样本抽有了具体的观测值，故又可以看成是一组确定的值。