作者：teeyohuang

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声明：此系列博文根据斯坦福CS229课程，吴恩达主讲 所写，为本人自学笔记，写成博客分享出来

          博文中部分图片和公式都来源于CS229官方notes。

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                                                     Lecture5

主要内容：

· Generative learning algorithm（生成学习算法）

· Gaussian Discriminant Analysis（高斯判别分析）

· Digression about Gaussian（高斯分布的拓展）

· Generative / Discriminativelearning algorithm（对比生成学习算法和判别学习算法）

· Naïve Bayes（朴素贝叶斯）

· Laplace smoothing（拉普拉斯平滑）

1、  Generative learning algorithm

用之前提过的判别良性和恶性肿瘤的例子做个讲解，我们单独对训练集中的良性肿瘤样本建立一个模型，又再单独对恶性肿瘤样本建立一个模型，这样我们得到两个模型，当我们需要判别一个新的病例的时候，分别与这两个模型进行匹配，看它更符合哪个模型，这样的一个过程就是 生成学习算法。下面给出一些形式化的定义：

 

Discriminant learning algorithm（判别学习算法）:

Generative learning algorithms（生成学习算法）:

分母可以用全概率公式进行计算：

下面介绍一个生成学习算法的例子：高斯判别分析。

2、  GaussianDiscriminant Analysis

①先回顾一下（multivariate normal distribution）多维正态分布的一些特点

 

给出几个例子：

再给出几个例子以探讨协方差矩阵的影响：

②GaussianDiscriminant Analysis model 高斯判别模型

当我们处理一个分类问题时，输入变量X如果是连续值随机变量，那么我们就可以考虑使用GDA模型。对 p(x|y)使用多维正态分布建模：

求取上述似然函数的最大值，我们就得到相应的参数的估计值：

总得来说，算法做的事情如下所示：

图里的小圆圈和小叉是训练集的数据，大的环状是俯瞰二维高斯分布的轮廓图（此例中输入变量X只考虑了两个特征，即小圆圈和小叉叉是由两个坐标值确定的，所以对应的就是二维高斯分布）。

注意到两个二维高斯轮廓的形状和方向都是一样的，因为我们的协方差矩阵取得是一个，只是位置不一样，因为均值向量取了两个。

中间的那条直线，把所有训练集划分成了两个部分，一个部分我们就认为是y=0，另一个部分认为是y=1.

 

回想一下本文前面讲的生成学习算法的概念，你就会明白，这里的两个高斯分布，就是对训练集的数据特征进行建模，即对训练集的数据获得p(x|y=0)和p(x|y=1)。然后对于新的输入x，看这个输入x落在哪个高斯分布的范围内，那么我们就认为它更倾向于哪一类。

③讨论：GDA和Logisticregression

事实上，GDA算法和Logistic regression 有点联系，

这里的θ是其他几个参数的一种适当的表达，那么这个形式其实就是Logistic  regression，用来对p(y=1|x) 进行建模。

吴老师直接给出结论：

但是呢，当作出一些较弱的假设的时候，Logistic regression 的结果更加具有鲁棒性，在建模时对于负样例的干扰不敏感。

总结起来：GDA具有更强的建模假设，并且当建模假设是正确的或至少是近似正确的时候，GDA能够更有效地处理数据（需要更少的数据量以得到好的模型）。Logisticregression使假设变得更弱，并且对与建模假设的偏差具有更强的鲁棒性。

 

具体来说，当数据是非高斯分布时，在大数据集的限制下，Logistic regression几乎总是比GDA做得更好。由于这个原因，在实践中，Logistic regression比GDA更常用。

 

3、  Naïve Bayes（朴素贝叶斯）

在上面的GDA中，输入变量X是连续的，现在我们讨论的朴素贝叶斯算法，X是取离散值。

吴老师以垃圾邮件分类的例子来阐述Naïve Bayes，其实考虑的就是文本分类的问题。现在令X这个特征向量包含n个元素，n是一个字典中单词的数量，每个元素只能取1或者0，分别代表该邮件中存在或者不存在这个单词，如下例：

编码成特征向量的词集称为词汇表（vocabulary），所以X的维度就是词汇表的size。如果我们要使用Generative learning algorithm，那么就是要对p(x|y)进行建模。考虑到X的每个元素有0或者1两种取法，如果词汇表中有50000个单词，那么若对其采用多项分布进行建模，就会用到2^50000-1个参数（我们在讲softmax时讲到过），很明显参数数目太多。那么我们就

不考虑用多项分布进行建模。

注意这个假设并不是说Xi之间是相互独立的，而是给定y的条件下相互独立的。所以我们得到如下公式：

 

       我们这里要求X是离散值，但是有时候我们对于连续值的X采用GDA进行建模的时候，如果结果并不理想，那么我们可以对连续值进行手动离散化，比如隔几段取个区间，就像分段函数一样把连续值映射成离散值，然后再来采用Naïve Bayes 进行建模，也是可以的。

 

4、  Laplacesmoothing（拉普拉斯平滑）

考虑这样一个例子，如果出现一个关键单词，在你之前的所有垃圾或正常邮件中都不曾出现过，比如吴老师举例为NIPS，设这个单词是字典中的第35000个，那么计算公式为

这两个参数都为0的原因是，这个单词从未出现在训练集中。也就是它的出现次数为0，进而它的后验概率为：

为了避免出现0/0的情况出现，就需要进行一下拉普拉斯平滑处理：

在分子上加1，在分母上加k，k表示y可以取的情况的数目。此例中y可取值为0和1，则k=2、

那么关于生成学习算法的讨论到此为止，