MIT 18.06 linear algebra 第三十二讲笔记

• Change of basis
• Compression of Images
• Transformation↔$\leftrightarrow$Matrix

这一课主要是讲了一些关于信号图像压缩的知识。

假设现在有一幅图是512×512$512\times 512$个像素的灰度图。这幅图可以表示为5212×1${521}^2\times 1$的一个向量。对于这幅图我们可以将其划分为64×64$64\times 64$的小方块，每个小方块中有8×8$8\times 8$一共64个像素点。这样我们就可以选取8个不相关的向量作为基底，来表示这8×8$8\times 8$像素矩阵的每一列。其中最为常用的基底有傅里叶，小波变换。

图像或者信号压缩的过程

那么压缩后的信号为C^=∑ci^vi$\hat{C}=\sum \widehat{c_i}{v}_i$

在前面的基变换过程中,假设p$p$是输入信号，p=c1w1+⋯+c8w8$p=c_1{w}_1+\cdots +c_8{w}_8$,因此有p=W⎡⎣⎢⎢⎢⎢c1c2⋮c8⎤⎦⎥⎥⎥⎥$p=W\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_8\end{array}\right]$,那么c=W−1p$c=W^{-1}p$，c$c$就是基变换后的坐标。
一个好的基底有以下要求：

1. Fast,运算速度快，像基向量中只含有0，1的话，计算机计算的速度就很快。
2. 求逆方便，如果是标准正交基，那么逆就是矩阵的转置。
3. 良好的压缩性。这意味着c$c$中有很多0，但是它可以凭借着少量的向量就可以重现图像。

假设对于一个线性变换，如投影，旋转45度，现在有一组基v1,⋯,v8$v_1,\cdots ,v_8$,就这个基底它所对应的线性变换矩阵为A$A$。现在还有另外一组基w1,⋯,w8$w_1,\cdots ,w_8$，对于线性变换对应的矩阵为B$B$，这两个矩阵A$A$与B$B$之间有什么关系？
矩阵A$A$和B$B$是相似的，基B=M−1AM$B=M^{-1}AM$。教授这块讲的十分简略。