前言

深度学习的内容到上节就结束了，接下来还剩下监督和半监督学习，半监督学习只有一个课时。半监督学习基于某种假设，本节课先介绍了在Generative Model中的应用，然后讲了两种常见假设，最后挖一坑，留待监督学习再讲。
公式输入请参考：在线Latex公式

简介

先来看非监督学习（Semi-supervised Learning）定义，如果是普通的监督学习：
$\left\{(x^r,\widehat y^r) \right\}_{r=1}^R${(xr,y​r)}r=1R​
假设我们有R笔training data，其中$x^r$xr是function的输入（例如：一张图片），$\widehat y^r$y​r是function的输出（例如：分类标签）。对于非监督学习：
$\left\{(x^r,\widehat y^r) \right\}_{r=1}^R,\left\{x^u\right\}_{u=R}^{R+U}${(xr,y​r)}r=1R​,{xu}u=RR+U​
出了之前的R笔data之外，还有另外U组数据，只有输入，没有输出。通常U>>R，所以上标写成R+U没问题。

分类

非监督学习分为两种：
Transductive learning: unlabelled data is the testing data
Inductive learning: unlabelled data is not the testing data
这里注意：在train的过程使用testing data那么testing data还算testing data吗？这不是自己出题目自己测试（作弊）？不是的，这里只是使用testing data的feature，并没有看它的label，所以不存在作弊。
也就是说在训练的过程中使用了testing data的feature（不看label）称为：Transductive learning，否则称为Inductive learning。

原因

Collecting data is easy, but collecting “labelled” data is expensive.
We do semi-supervised learning in our lives.（小孩学习就是一种半监督学习）

半监督学习往往基于某种假设，所以有的时候很有用，有的时候是会出错，例如上图中的例子，根据分布会斜着划分分类，但是可能会分错（狗认成了猫）。

Supervised Generative Model

本节中讲如何在Generative Model中做半监督学习。先回顾之前监督学习的Probability 的Generative Model

注意：这里两个分类的分布的∑矩阵是共用的，效果会好一点，这里如果忘记了可以翻一下之前的笔记：李宏毅学习笔记4.分类

这里如果加入了unlabelled data（绿色点表示），可以发现可能会使得蓝色和橙色点点$μ^1$μ1和$μ^2$μ2改变（分别可能是蓝色和橙色的虚线圆圈），两个分类的先验也可能发生变化，因为原来两个分类的数量差不多，现在明显橙色分类貌似多一些，总之，加入了unlabel data会影响很多因素（上图中最下面黑色字），最终影响到Decision boundary。这些都是非量化的分析，接下来看一下数学的描述（推导）。

步骤描述

首先是初始化$θ$θ，可以是随机初始化，也可以从labelled data里面估算。
第一步：根据现有的$θ$θ，估算每一笔data属于$x^u$xu的几率，当然如图所示，这个几率和初始化的$θ$θ有关。
第二步：更新模型，如果没有考虑unlabelled data，那么计算公式为：$P(C_1)=\frac {N_1}{N}$P(C1​)=NN1​​，其中$N_1和N$N1​和N的意义见图所示。现在考虑上unlabelled data，出现$C1$C1的几率是出现的$x^u$xu是$C1$C1的几率的和，加上属于C1的数据的数量，然后除以总的数据数量。这里的重要思想是：unlabelled data并没有一定是属于$C1$C1或者是$C2$C2，而是根据概率来决定。
对于$μ^1$μ1而言，如果不考虑unlabelled data，则只用计算上图中的第一项，考虑unlabelled data则要加上后面的项。
第二步完成后得到新的model，这个时候可以重新回到第一个步骤，一直反复。理论上这个算法是一定会收敛，但是结果受到参数的影响，如果从大的方向来看，这个算法实际上对应的是EM算法（可以参考李航的《统计学习方法》），第一步对应E，第二步对应M。

为什么会采用以上步骤？

对于labelled data，采用的是对数似然函数构造损失函数来解决这个问题

推导对数似然函数是把右边蓝色框里面的东西带入左边，然后求解。整个求解的思想是最大似然，找到最相近的形式，这个也是最大似然求解的思想。
对于unlabelled data，可以看到下图，第一项和上面是一样的，是labelled data的部分，对于unlabelled data

我们并不知道它是属于哪一类，我们如何估测它的几率呢？蓝色框中给出的一笔data：$x^u$xu出现的几率，由于不知道它是从$C1$C1还是$C2$C2来，所以这里两者都有可能。
接下来要求解上图中的$logL(θ)$logL(θ)，这个式子不是凸函数，所以用EM的方式来解。

第一种假设Low-density Separation

就是在分类中间会有明显的分界，在分界线附近只有比较稀疏（Low-density）的数据。

self-training

比较简单的算法，先上图：

解释一下步骤：模型的数据包含标记和非标记数据。
1、用标记数据去训练目标函数$f^*$f∗
2、将unlabelled data丢入训练好的$f^*$f∗获得$\left\{(x^u,y^u)\right\}_{u=l}^{R+U}${(xu,yu)}u=lR+U​，称为Pseudo-label伪标签。
3、从unlabelled data中拿出一部分data加入到labelled data set中。这里加那些？可以自己定，甚至可以为加的unlabelled data舔上weight（根据confidence）。
重复以上步骤。
问题：如果这个方法用在regression上面效果会怎么样。
答案：不适用，因为把regression中的unlabelled data的pseudo-label加入labelled data set中并不会影响$f^*$f∗。
实际上这里用到了软分类和硬分类的概念

如果用神经网络来做分类，最后的输出是硬分类就是上面，软分类是下面。
老师说软分类是没有用的，一来是因为我们使用的是Low-density的假设，世界上的数据是非黑即白的；二来，如果使用软分类进行训练目标和输出没什么区别，所以参数不会有什么改善。
ng的课（忘记是ng还是231n）里面貌似是这样解释，你明确的告诉你的模型输入x的分类是什么，有利于增强模型的信心，这样模型才会学得更好。

self-training的进阶：Entropy-based Regularization

假设我们的NN输入$x^u$xu得到的输出$y^u$yu是一个分布，根据非黑即白的假设，我们希望输出概率$y^u$yu集中到某一个分类（unlabelled data我们也不知道是哪一类）因此左边三个图中，上面两个是好的，下面那个平均的概率不好。那如何使用数字来评估这个分布是好还是不好？答案就是熵。
PS：为什么熵能干这个事情，如果看过李开复讲熵的原理就容易明白，熵其实是表达数据的混乱程度，如果越平均（平均意味则不确定，那么就意味混乱），越混乱，熵的值越大。例如上图左边上面两个的熵都为0，都是确定为某一种分类，最下面熵最大，因为不确定是哪个类。
最后改进的损失函数$L$L就是分两部分，一部分是标记数据输出与label之间的交叉熵，另一部分是非标记数据的熵然后乘上浪大惩罚因子。

其他半监督学习方法：Semi-supervised SVM

由于SVM后面还会讲，这里就先简单讲下，传统SVM有两个条件：
1、分类后要有最大的margin，两个分类分得越开越好；
2、同时要有最小的分类错误。
半监督的SVM如何做？

如上图所示，左边有四个未标记的数据，SVM会穷举这四个数据所有可能的分类（右边列举了三个例子），然后对各种可能都计算分类；然后去找刚才穷举的情况里面那个情况最能满足传统SVM的两个条件，以上图为例，应该是中间黑框那个。
论文控：Thorsten Joachims, ”Transductive Inference for Text Classification using Support Vector Machines”, ICML, 1999
实作的时候如果未标签数据很多，穷举方式效率太低，那么可以采用approximate的方法，就是一次弄一个unlabelled data进行，然后改变它的分类，看分界的变化，然后确定分类。

第二种假设：Smoothness Assumption

和第一种假设相对：近朱者赤，近墨者黑
蓬生麻中，不扶而直；白沙在涅，与之俱黑。《劝学篇》荀子。二次元+古文，老师还真博学。

直接字面去理解相近的输入x会有相近的输出y不太准确，准确假设定义如上图：
输入x的分布是不均匀的，如果$x^1$x1和$x^2$x2在一个高密度（High density region）范围内相近，那么$\widehat y^1$y​1和$\widehat y^2$y​2会很相近。或者说$\widehat y^1$y​1和$\widehat y^2$y​2能用high density path相连接。看右边例子：
有三笔输入：$x^1$x1、$x^2$x2和$x^3$x3，如果只看距离判断，$x^2$x2和$x^3$x3最像，$x^1$x1和$x^2$x2没有那么像，这个是不太准确的假设，准确的假设应该是这样：
$x^1$x1和$x^2$x2最像，它们两个是High density的像，它们中间有一个High density region，而$x^2$x2和$x^3$x3中间有白色区域，所以它们不太像。
看实例：
1、数字识别

上图中的左边的2相当于$x^1$x1，中间的2相当于$x^2$x2，右边的3相当于$x^3$x3。
2、人脸识别

左右两张脸的图片对于电脑而且实际上是不一样，但是如果收集够多的data，那么就会找到两张脸的过渡形态，从而得到两张脸一样的结论。
3、文件分类
想要划分天文学和旅游类文章

可能单篇文章词和词之间还没有什么联系，如果收集的数据够多，可能会产生下面的传递（propagate）效果：
生词表补充：
Asteroid小行星
Comet彗星
zodiac黃道帶
Zion耶路撒冷zaɪən

Cluster and then Label方法

很简单的方法，就是通过聚类来进行unlabelled data的划分：

但是这个方法在图像分类上不好，可以想象，如果是根据pixel来进行聚类的效果。正确的方法是先用***抽取feature，然后再clustering。这里***老师讲的是英文，没听懂，-_-||。

Graph-based 方法

就是把数据变成图中的点，如果两个点之间没有连接（就算距离很近），则认为它们没有在一个high density region。例如上图中的蓝色红红色点。图的建立一般都很nature，例如网页与网页可以有hyperlink连接，文章与文章可以有引用。当然有时候需要自己想办法建立图：

1、计算相似度
2、添加边建立图，可以有个KNN或者e-Neighborhood（超过阈值e才建立边）
可以根据相似度定权重：$s\left (x^i,x^j\right)=exp\left(-γ\left \| x^i-x^j \right \|^2\right)$s(xi,xj)=exp(−γ∥∥​xi−xj∥∥​2)
这里要解释下为什么用exp，exp只有两个点比较近值会大，如果稍微远一点exp的值会decrease很大。就像上图右下角中两个橙色是连的，但是和绿色稍微远一点就不连了。这样可以很有效的防止垮边界连接。

Graph-based方法精神

主要两点：
1、标记数据会影响他的邻居，如下图左边的x属于Class 1，它会使得和它相连的节点为Class 1的几率增加（看蓝色箭头）
2、第一点的特性会传递propagate，例如，右边那个节点没有直接连接到x，但是它为Class 1的几率也增加（看蓝色箭头），这就是传递，为了充分说明这个，右下角边还给出具体传递的例子。
缺点就是要data足够过，例如右上角的由于没有收集到足够多的数据，导致数据之间的连接断开了。

定量研究

smoothness的数字化：
两两相连节点拿出来乘以权重乘以0.5，下图可以试着计算对比下结果。

这个结果越小越好。把这个S公式改进一下：

吧y串成一个vector，由于y包含标签数据和未标签数据，所以这个vector的维度是R+U。则
$s=\bold y^TL\bold y$s=yTLy
中间的矩阵如上图所示，称为：Graph Laplacian拉普拉斯矩阵，大小是：$(R+U) × (R+U)$(R+U)×(R+U) 。
$L=D-W$L=D−W
W是节点连接关系，1分别和2、3号节点连接，把连接的权重写在第一行，1和自己连接权重为0,1和4不连接，权重为0；
把W的每一行累加后放到相对应的位置，得到D。
证明过程简单枯燥，基本就是把矩阵展开就是左边。
S算出来什么含义？怎么用？

S与图是有关的的，在计算损失函数的时候相当于正则化项，可以在NN中的任意一层用。正则化的用途之前有讲的拉，就是平滑函数。

挖坑

Semi-supervised Learning
Better Representation
去蕪存菁，化繁為簡
就是要找到模型中的隐藏因素（通常比较简单）更好的表达真实世界。

Reference：

MIT出版，老师混MIT。。。
参考材料