希尔伯特变换在MATLAB中的应用

一、基本理论

　　A-Hilbert变换定义

对于一个实信号x(t)x(t)，其希尔伯特变换为：

x~(t)=x(t)∗1πtx~(t)=x(t)∗1πt

式中*表示卷积运算。

Hilbert本质上也是转向器，对应频域变换为：

1πt⇔j⋅sign(ω)1πt⇔j⋅sign(ω)

即余弦信号的Hilbert变换时正弦信号，又有：

1πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−11πt∗1πt⇔j⋅sign(ω)⋅j⋅sign(ω)=−1

即信号两次Hilbert变换后是其自身相反数，因此正弦信号的Hilbert是负的余弦。

对应解析信号为：

z(t)=x(t)+jx~(t)z(t)=x(t)+jx~(t)

此操作实现了信号由双边谱到单边谱的转化。

　　B-Hilbert解调原理

设有窄带信号：

x(t)=a(t)cos[2πfst+φ(t)]x(t)=a(t)cos⁡[2πfst+φ(t)]

其中fsfs是载波频率，a(t)a(t)是x(t)x(t)的包络，φ(t)φ(t)是x(t)x(t)的相位调制信号。由于x(t)x(t)是窄带信号，因此a(t)a(t)也是窄带信号，可设为：

a(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]a(t)=[1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

式中，fmfm为调幅信号a(t)a(t)的频率分量，γmγm为fmfm的各初相角。

对x(t)x(t)进行Hilbert变换，并求解解析信号，得到：

z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]z(t)=ej[2πfs+φ(t)][1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

设

A(t)=[1+∑m=1MXmcos(2πfmt+γm)]A(t)=[1+∑m=1MXmcos⁡(2πfmt+γm)]

Φ(t)=2πfst+φ(t)Φ(t)=2πfst+φ(t)

则解析信号可以重新表达为：

z(t)=A(t)ejΦ(t)z(t)=A(t)ejΦ(t)

对比x(t)x(t)表达式，容易发现：

a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)−−−−−−−−−−√a(t)=A(t)=x2(t)+x~2(t)

φ(t)=Φ(t)−2πfst=arctanx(t)x~(t)−2πfstφ(t)=Φ(t)−2πfst=arctan⁡x(t)x~(t)−2πfst

由此可以得出：对于窄带信号x(t)x(t)，利用Hilbert可以求解解析信号，从而得到信号的幅值解调a(t)a(t)和相位解调φ(t)φ(t)，并可以利用相位解调求解频率解调f(t)f(t)。因为：

f(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt−fsf(t)=12πdφ(t)dt=12πdΦ(t)dt−fs

　　C-相关MATLAB指令

hilbert

功能：将实数信号x(n)进行Hilbert变换，并得到解析信号z(n).

调用格式：z = hilbert(x)

instfreq

功能：计算复信号的瞬时频率。

调用格式：[f, t] = insfreq(x,t)

示例：

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2

z = hilbert(x);

f = instfreq(z);

二、应用实例

例1：给定一正弦信号，画出其Hilbert信号，直接给代码：

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clc

clear all

close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
f = 50;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 信号变换
% 结论：sin信号Hilbert变换后为cos信号

y = sin(2*pi*f*t);

yh = hilbert(y);    % matlab函数得到信号是合成的复信号

yi = imag(yh);      % 虚部为书上定义的Hilbert变换
figure

subplot(211)

plot(t, y)

title('原始sin信号')

subplot(212)

plot(t, yi)

title('Hilbert变换信号')

ylim([-1,1])

　　对应效果图：

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

例2：已知信号x(t)=(1+0.5cos(2π5t))cos(2π50t+0.5sin(2π10t))x(t)=(1+0.5cos⁡(2π5t))cos⁡(2π50t+0.5sin⁡(2π10t))，求解该信号的包络和瞬时频率。

分析：根据解包络原理知：

信号包络：(1+0.5cos(2π5t))(1+0.5cos⁡(2π5t))

瞬时频率：2π50t+0.5sin(2π10t)2π2π50t+0.5sin⁡(2π10t)2π

那么问题来了，实际情况是：我们只知道x(t)x(t)的结果，而不知道其具体表达形式，这个时候，上文的推导就起了作用：可以借助信号的Hilbert变换，从而求解信号的包络和瞬时频率。

对应代码：

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clear all; clc; close all;
 

fs=400;                                 % 采样频率

N=400;                                  % 数据长度
n=0:1:N-1;
dt=1/fs;

t=n*dt;                                 % 时间序列

A=0.5;                                  % 相位调制幅值

x=(1+0.5*cos(2*pi*5*t)).*cos(2*pi*50*t+A*sin(2*pi*10*t));  % 信号序列

z=hilbert(x');                          % 希尔伯特变换

a=abs(z);                               % 包络线

fnor=instfreq(z);                       % 瞬时频率

fnor=[fnor(1); fnor; fnor(end)];        % 瞬时频率补齐
% 作图

pos = get(gcf,'Position');

set(gcf,'Position',[pos(1), pos(2)-100,pos(3),pos(4)]);

subplot 211; plot(t,x,'k'); hold on;

plot(t,a,'r--','linewidth',2);

title('包络线'); ylabel('幅值'); xlabel(['时间/s' 10 '(a)']);

ylim([-2,2]);

subplot 212; plot(t,fnor*fs,'k'); ylim([43 57]);

title('瞬时频率'); ylabel('频率/Hz');  xlabel(['时间/s' 10 '(b)']);

　　其中instfreq为时频工具包的代码，可能有的朋友没有该代码，这里给出其程序：

function [fnormhat,t]=instfreq(x,t,L,trace);
%INSTFREQ Instantaneous frequency estimation.
%   [FNORMHAT,T]=INSTFREQ(X,T,L,TRACE) computes the instantaneous
%   frequency of the analytic signal X at time instant(s) T, using the
%   trapezoidal integration rule.
%   The result FNORMHAT lies between 0.0 and 0.5.
%
%   X : Analytic signal to be analyzed.
%   T : Time instants           (default : 2:length(X)-1).
%   L : If L=1, computes the (normalized) instantaneous frequency
%       of the signal X defined as angle(X(T+1)*conj(X(T-1)) ;
%       if L>1, computes a Maximum Likelihood estimation of the
%       instantaneous frequency of the deterministic part of the signal
%       blurried in a white gaussian noise.
%       L must be an integer        (default : 1).
%   TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown
%                                   (default : 0).
%   FNORMHAT : Output (normalized) instantaneous frequency.
%   T : Time instants.
%
%   Examples :
%    x=fmsin(70,0.05,0.35,25); [instf,t]=instfreq(x); plot(t,instf)
%    N=64; SNR=10.0; L=4; t=L+1:N-L; x=fmsin(N,0.05,0.35,40);
%    sig=sigmerge(x,hilbert(randn(N,1)),SNR);
%    plotifl(t,[instfreq(sig,t,L),instfreq(x,t)]); grid;
%    title ('theoretical and estimated instantaneous frequencies');
%
%   See also  KAYTTH, SGRPDLAY.
 
%   F. Auger, March 1994, July 1995.
%   Copyright (c) 1996 by CNRS (France).
%
%   ------------------- CONFIDENTIAL PROGRAM --------------------
%   This program can not be used without the authorization of its
%   author(s). For any comment or bug report, please send e-mail to
%   [email protected]
 

if (nargin == 0),

 error('At least one parameter required');

end;

[xrow,xcol] = size(x);

if (xcol~=1),

 error('X must have only one column');
end
 

if (nargin == 1),

 t=2:xrow-1; L=1; trace=0.0;

elseif (nargin == 2),

 L = 1; trace=0.0;

elseif (nargin == 3),

 trace=0.0;

end;
 

if L<1,

 error('L must be >=1');
end

[trow,tcol] = size(t);

if (trow~=1),

 error('T must have only one row');

end;
 

if (L==1),

 if any(t==1)|any(t==xrow),

  error('T can not be equal to 1 neither to the last element of X');

 else

  fnormhat=0.5*(angle(-x(t+1).*conj(x(t-1)))+pi)/(2*pi);

 end;
else

 H=kaytth(L);

 if any(t<=L)|any(t+L>xrow),

  error('The relation L<T<=length(X)-L must be satisfied');

 else

  for icol=1:tcol,

   if trace, disprog(icol,tcol,10); end;

   ti = t(icol); tau = 0:L;

   R = x(ti+tau).*conj(x(ti-tau));

   M4 = R(2:L+1).*conj(R(1:L));

    

   diff=2e-6;

   tetapred = H * (unwrap(angle(-M4))+pi);

   while tetapred<0.0 , tetapred=tetapred+(2*pi); end;

   while tetapred>2*pi, tetapred=tetapred-(2*pi); end;

   iter = 1;

   while (diff > 1e-6)&(iter<50),

    M4bis=M4 .* exp(-j*2.0*tetapred);

    teta = H * (unwrap(angle(M4bis))+2.0*tetapred);

    while teta<0.0 , teta=(2*pi)+teta; end;

    while teta>2*pi, teta=teta-(2*pi); end;

    diff=abs(teta-tetapred);

    tetapred=teta; iter=iter+1;

   end;

   fnormhat(icol,1)=teta/(2*pi);

  end;

 end;

end;

　　对应的结果图为：

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

可以看到信号的包络、瞬时频率，均已完成求解。

例3：例2中信号包络为规则的正弦函数，此处给定任意形式的包络（以指数形式为例），并利用Hilbert求解包络以及瞬时频率，并给出对应的Hilbert谱。

程序：

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clear all

close all
ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1

a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3

m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号

y = a.*m;  % 信号调制
figure

subplot(241)

plot(t, a)

title('包络')

subplot(242)

plot(t, m)

title('调制信号')

subplot(243)

plot(t, y)

title('调制结果')
% 包络分析
% 结论：Hilbert变换可以有效提取包络、高频调制信号的频率等
yh = hilbert(y);

aabs = abs(yh);                 % 包络的绝对值

aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位

af = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
% NFFT = 2^nextpow2(N);

NFFT = 2^nextpow2(1024*4);      % 改善栅栏效应

f = fs*linspace(0,1,NFFT);

YH = fft(yh, NFFT)/N;           % Hilbert变换复信号的频谱

A = fft(aabs, NFFT)/N;          % 包络的频谱

subplot(245)

plot(t, aabs,'r', t, a)

title('包络的绝对值')

legend('包络分析结果', '真实包络')

subplot(246)

plot(t, aangle)

title('调制信号的相位')

subplot(247)

plot(t(1:end-1), af*fs)

title('调制信号的瞬时频率')

subplot(244)

plot(f,abs(YH))

title('原始信号的Hilbert谱')

xlabel('频率f (Hz)')

ylabel('|YH(f)|')

subplot(248)

plot(f,abs(A))

title('包络的频谱')

xlabel('频率f (Hz)')

ylabel('|A(f)|')

　　对应结果图：

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

从结果可以观察，出了边界误差较大，结果值符合预期。对于边界效应的分析，见扩展阅读部分。注意：此处瞬时频率求解，没有用instfreq函数，扩展阅读部分对该函数作进一步讨论。

三、扩展阅读

　　A-瞬时频率求解方法对比

对于离散数据，通常都是用差分代替微分，因此瞬时频率也可根据概念直接求解。此处对比分析两种求解瞬时频率的方法，给出代码：

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ts = 0.001;
fs = 1/ts;
N = 200;
k = 0:N-1;
t = k*ts;
% 原始信号
f1 = 10;
f2 = 70;
% a = cos(2*pi*f1*t);       % 包络1

a = 2 + exp(0.2*f1*t);     % 包络2
% a = 1./(1+t.^2*50);       % 包络3

m = sin(2*pi*f2*t);         % 调制信号

y = a.*m;  % 信号调制
figure
yh = hilbert(y);

aangle = unwrap(angle(yh));     % 包络的相位

af1 = diff(aangle)/2/pi;         % 包络的瞬时频率，差分代替微分计算
af1 = [af1(1),af1];

subplot 211

plot(t, af1*fs);hold on;

plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);

title('直接求解调制信号的瞬时频率');

legend('频率估值','真实值','location','best');

subplot 212

af2 = instfreq(yh.').';

af2 = [af2(1),af2,af2(end)];

plot(t, af2*fs);hold on;

plot(t,70*ones(1,length(t)),'r--','linewidth',2);

title('instfreq求解调制信号的瞬时频率');

legend('频率估值','真实值','location','best');

　　结果图：

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

可以看出，两种方式结果近似，但instfreq的结果更为平滑一些。

　　B-端点效应分析

对于任意包络，求解信号的包络以及瞬时频率，容易出现端点误差较大的情况，该现象主要基于信号中的Gibbs现象，限于篇幅，拟为此单独写一篇文章，具体请参考：Hilbert端点效应分析。

　　C-VMD、EMD

Hilbert经典应用总绕不开HHT（Hilbert Huang），HHT基于EMD，近年来又出现了VMD分解，拟为此同样写一篇文章，略说一二心得，具体参考：EMD、VMD的一点小思考。

　　D-解包络方法

需要认识到，Hilbert不是解包络的唯一途径，低通滤波（LPF）等方式一样可以达到该效果，只不过截止频率需要调参。

给出一个Hilbert、低通滤波解包络的代码：

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function y=envelope(signal,Fs)
 
%Example:
%   load('s4.mat');
%   signal=s4;
%   Fs=12000;
%   envelope(signal,Fs);

clc;

close all;
 
%Normal FFT
y=signal;

figure();
N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 311

plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('FFT of Original Signal');
 
 
%Envelope Detection based on Low pass filter and then FFT

[a,b]=butter(2,0.1);%butterworth Filter of 2 poles and Wn=0.1
%sig_abs=abs(signal); % Can be used instead of squaring, then filtering and
%then taking square root

sig_sq=2*signal.*signal;% squaring for rectifing
%gain of 2 for maintianing the same energy in the output

y_sq = filter(a,b,sig_sq); %applying LPF

y=sqrt(y_sq);%taking Square root
%advantages of taking square and then Square root rather than abs, brings
%out some hidden information more efficiently
N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 312

plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection: LPF Method');
 
 
 
%Envelope Detection based on Hilbert Transform and then FFT
analy=hilbert(signal);

y=abs(analy);
N=2*2048;T=N/Fs;

sig_f=abs(fft(y(1:N)',N));

sig_n=sig_f/(norm(sig_f));
freq_s=(0:N-1)/T;

subplot 313

plot(freq_s(2:250),sig_n(2:250));title('Envelope Detection : Hilbert Transform')

　　结果图：

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

效果是不是也不错？

Hilbert硬件实现思路：

思路1（时域处理）：借助MATLAB fdatool实现，Hilbert transform，导出滤波器系数

思路2（频域处理）：

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

希尔伯特变换在MATLAB中的应用

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