机器学习两个重要的过程：学习得到模型和利用模型进行预测。

下面主要总结对比下这两个过程中用到的一些方法。

一，求解无约束的目标优化问题

这类问题往往出现在求解模型，即参数学习的阶段。

我们已经得到了模型的表达式，不过其中包含了一些未知参数。

我们需要求解参数，使模型在某种性质（目标函数）上最大或最小。

最大似然估计：

其中目标函数是对数似然函数。为了求目标函数取最大值时的theta。

有两个关机键步骤，第一个是对目标函数进行求导，第二个是另导数等于0，求解后直接得到最优theta。两个步骤缺一不可。

梯度下降：

对目标函数进行求导，利用导函数提供的梯度信息，使参数往梯度下降最快的方向移动一小步，

来更新参数。为什么不使用最大似然估计的方法来求解呢？

上面是逻辑回归的目标函数，可以看出J(θ)容易进行求导，如下所示：

但是如果通过使偏导数等于0，来求θ是非常困难的。

首先hθ (xi)是关于所有θ的函数，而且h是逻辑回归函数，

其次，每个等式中包含m个hθ (xi)函数。因此只能利用梯度信息，在解空间中进行探索。

EM算法：

和上面一样，也是要求优化一个目标函数。

不同的是，它只能得到目标函数，甚至连目标函数的导函数也求不出来。

如下面的高斯混合模型(GMM)的目标函数函数：

对上面的目标函数求导是非常困难的。

在比如下面的隐马尔科夫模型（HMM）的目标函数：

都是不可以直接求导的，所以需要引入隐变量来简化计算。

好处是：如果我们知道隐变量的值或者概率分布，那么原目标函数可以进行高效的求解（比如可以用最大似然估计法求解）。

通常的步骤是先有参数的先验值和训练数据得到隐变量，再由隐变量和训练数据来最大化目标函数，得到参数。

（个人认为，隐变量可以随便引入，只要能够使原目标函数可以高效求解就行。）

坐标上升或下降（CoordinateAscent）：

由先验经验初始化参数。然后每次选择其中一个参数进行优化，其它参数固定（认为是已知变量），如此进行迭代更新。

它和EM的思想差不多，通过引入隐变量（固定的参数），来使得问题变得高效可解。

而引入的隐变量是通过上一次计算的参数得到的（只不过隐变量就等于部分参数本身而已），相当于参数信息落后了一代而已。

k-means和高斯混合模型(GMM)中的EM：

k-means是先由参数和数据得到数据的分类标签，再由数据和分类标签来计算参数。

高斯混合模型中的EM是先由参数和数据得到数据分类标签的概率分布，再由数据和分类标签分布来计算参数。

像k-means这样求隐变量具体值的叫做hard-EM，想GMM这样求隐变量的概率分布的叫做soft-EM。

EM算法收敛性证明：

二，求解有约束的目标优化问题