正定负定半正定半负定

1. 标量函数

正定负定半正定半负定

实对称矩阵 A A A 是负定的，如果二次型 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = X ′ A X f(x_1,x_2,…, x_n )=X^′ AX f(x1,x2,…,xn)=X′AX 负定。

矩阵负定的充分必要条件是它的特征值都小于零。

若矩阵 A A A 是 n n n 阶负定矩阵，则 A A A 的偶数阶顺序主子式大于 0，奇数阶顺序主子式小于 0。

负定矩阵是矩阵类中的一种特殊矩阵，它在矩阵理论中占有重要地位。负定矩阵可以看成是与正定矩阵对应的概念，负定矩阵与正定矩阵有着许多相似的性质。

如果有 n n n 阶矩阵 A A A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵 A A A 的转置等于其本身（ a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji），( i , j i,j i,j 为元素的脚标），则称 A A A 为实对称矩阵。