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上节课我们主要讲了为了避免overfitting，可以使用regularization方法来解决。在之前的
上加上一个regularizer，生成
,将其最小化，这样可以有效减少模型的复杂度，避免过拟合现象的发生。那么，机器学习领域还有许多选择，如何保证训练的模型具有良好的泛化能力？本节课将介绍一些概念和方法来解决这个选择性的问题。
目录
1. Model Selection Problem
2. Validation
3. Leave-One-Out Cross Validation
4. V-Fold Cross Validation
5. 总结
1. Model Selection Problem
机器学习模型建立的过程中有许多选择，例如对于简单的二元分类问题，首先是算法A的选择，有PLA，pocket，linear regression，logistic regression等等；其次是迭代次数T的选择，有100，1000,10000等等；之后是学习速率η的选择，有1，0.01,0.0001等等；接着是模型特征转换Φ的选择，有linear，quadratic，poly-10，Legendre-poly-10等等；然后是正则化regularizer的选择，有L2，L1等等；最后是正则化系数λ的选择，有0，0.01，1等等。不同的选择搭配，有不同的机器学习效果。我们的目标就是找到最合适的选择搭配，得到一个好的g，构建最佳的机器学习模型。
假设有M个模型，对应有
,即有M个hypothesis set，演算法为
,共M个。我们的目标是从这M个hypothesis set中选择一个模型
,通过演算法
在样本集D上训练，得到一个最好的
,使其
最小.所以，问题的关键就是机器学习中如何选择到最好的.
考虑有这样一种方法，对M个模型分别计算使最小的g，再横向比较，取其中能使最小的模型的：
但是（训练集上的误差）足够小并不能表示模型好，反而可能表示训练的发生了过拟合，泛化能力很差。而且这种“模型选择+学习训练”的过程，它的VC Dimension是
,模型复杂度增加。总的来说，泛化能力差，用来选择模型是不好的。
另外一种方法，如果有这样一个独立于训练样本的测试集，将M个模型分别在训练集上训练，得到每个模型对应的最好的g，分别在测试集上进行测试，看一下
（测试集上的误差）的大小，则选取使得最小的假设g（记为）对应的模型(对应一组超参数配置)作为最佳模型：
这种测试集验证的方法，根据finite-bin Hoffding不等式，可以得到：
由上式可以看出，模型个数M越少，测试集数目越大，那么
越小，即
越接近于.
下面比较一下之前讲的两种方法，第一种方法使用作为判断基准，使用的数据集就是训练集D本身(用训练集训练，再用训练集验证)；第二种方法使用作为判断基准，使用的是独立于训练集D之外的测试集（用训练集训练，再用测试集验证）。前者不仅使用D来训练得到不同的
(每个模型对应的最好的假设),而且又使用训练集D来验证，从中选择最好的，那么对未知数据并不一定泛化能力好。举个例子，这相当于老师用学生做过的练习题再来对学生进行考试，那么即使学生得到高分，也不能说明他的学习能力强。所以最小化的方法并不科学。而后者使用的是独立于D的测试集，相当于新的考试题能更好地反映学生的真实水平，所以最小化更加理想。
但是，我们拿到的都是训练集D，测试集是拿不到的。所以，寻找一种折中的办法，我们可以使用已有的训练集D来创造一个验证集validation set，即从D中划出一部分作为验证集
.D另外的部分作为训练集使用（用于训练模型），用来测试各个模型的好坏，最小化
(在上的误差),从而选择最佳的.
2. Validation
从训练集D中抽出一部分K个数据作为验证集，对应的error记为。这样做的一个前提是保证独立同分布（iid）于P(x,y)，也就是说的选择是从D中平均随机抽样得到的（可以先把原始的数据集D随机打乱，在取出k个数据作为），这样能够把与
联系起来。D中去除后的数据就是供各个模型（每个模型对应一组超参数配置，对应一个假设集）训练的数据
，其大小为N-k。每个模型在上进行训练得到各自最好的假设（对应最好的一组参数）
.
假如D共有1000个样本，那么可以选择其中900个作为，剩下的100个作为。使用训练模型，得到最佳的，使用在进行验证，得到如下Hoffding不等式：
假设有M种模型hypothesis set，的大小为K，每个模型m在上进行训练得到各自最好的假设（可以设置一定的迭代次数进行训练，优化参数，最后得到的参数对应的假设作为最好的假设；或者在训练的过程中，每迭代一定的次数，监控得到的假设在验证集上的表现，当假设在验证集上的误差不再下降时，提前终止训练，此时的假设就是最好的假设），计算每个模型对应的最好的假设在验证集上的误差，横向比较，得到使验证集误差最小的假设作为最终最好的假设，其对应的模型
,就是最优的模型(对应一组最优的超参数配置)。
现在由于数量为N的总样本D的一部分K作为验证集，那么只有N-k个样本可供训练。从中得到最好的
,而总样本D对应的最好的假设为.根据之前的leraning curve很容易知道，训练样本越多，得到的模型越准确，其hypothesis越接近target function，即D的比的要小：
所以，我们通常的做法是通过来选择最好的对应的模型（对应一组最优的超参数配置），再把这个最好的模型在全体样本集D上进行训练（设置一定的迭代次数，优化更新参数，得到最好的一组参数，对应），最终得到最好的。
总结一下，使用验证集进行模型选择的整个过程为：先将D分成两个部分，一个是训练集，一个是验证集。若有M个模型（每个模型对应一个假设集，对应一组超参数配置），那么分别把每个模型在上进行训练（可以设置一定的迭代次数进行训练，优化参数，最后得到的参数对应的假设作为最好的假设；或者在训练的过程中，每迭代一定的次数，监控得到的假设在验证集上的表现，当假设在验证集上的误差不再下降时，提前终止训练，此时的假设就是最好的假设，对应一组最好的参数），分别得到每个模型对应的最好的假设（对应一组最好的参数），再用对每个进行验证，选择表现最好（最小）的，记为，则其对应的模型（对应一组最好的超参数配置）被选择。最后使用该模型在整个D上进行训练（设置一定的迭代次数，优化更新参数，得到最好的一组参数，对应），得到最终的。下图展示了整个模型选择的过程：
不等式关系满足：
下面我们举个例子来解释这种模型选择的方法的优越性，假设有两个模型：一个是5阶多项式
,一个是10阶多项式
.通过不使用验证集和使用验证集两种方法对模型选择结果进行比较，分析结果如下：
图中，横坐标表示验证集数量K，纵坐标表示大小。黑色水平线表示没有验证集完全使用进行判断基准，那么更好一些，但是这种方法的比较大，而且与K无关。黑色虚线表示测试集非常接近实际数据，这是一种理想的情况，其很小，同样也与K无关，实际中很难得到这条虚线。红色曲线表示使用验证集，但是最终选取的矩是，其趋势是随着K的增加，它对应的先减小再增大，当K大于一定值的时候，甚至会超过黑色水平线。蓝色曲线表示也使用验证集，最终选取的是，其趋势是随着K的增加，它对应的先缓慢减小再缓慢增大，且一直位于红色曲线和黑色直线之下。从此可见，蓝色曲线对应的方法最好，符合我们之前讨论的使用验证集进行模型选择效果最好。
这里提一点，当K大于一定的值时，红色曲线会超过黑色直线。这是因为随着K的增大，增大，但可供模型训练的在减小，那得到的不具有很好的泛化能力，即对应的会增大，甚至当K增大到一定值时，比模型更差。
那么，如何设置验证集K值的大小呢？根据之前的分析：
当K值很大时，
,但是与相差很大；当K值很小是
,但是和可能相差很大。所以有个折中的办法，通常设置
（原始数据集的20%作为验证集，剩下的80%作为训练集）.值得一提的是，划分验证集，通常并不会增加整体时间复杂度，反而会减少，因为训练数据变少了。
3. Leave-One-Out Cross Validation
假如考虑一个极端的例子，k=1，也就是说验证集大小为1，即每次只用一组数据对进行验证。这样做的优点是,
但是和可能相差很大.为了避免和相差很大，每次从D中取一组作为验证集，直到所有样本都作过验证集，共计算N次，最后对验证误差求平均，得到
,这种方法称之为留一法交叉验证，表达式为：
这样求平均的目的是为了让尽可能地接近
.
下面用一个例子图解留一法的过程：
如上图所示，要对二维平面上的三个点做拟合，上面三个图表示的是线性模型，下面三个图表示的是常数模型。对于两种模型，分别使用留一交叉验证法来计算
,计算过程都是每次将一个点作为验证集，其他两个点作为训练集，最终将得到的验证误差求平均值，就得到了 
,比较两个值的大小，取值小对应的模型即为最佳模型(对应一组最优的超参数配置)。
每个模型（每组超参数配置）都要训练N次（若有M个模型就要训练M*N次），每次其中N-1个样本作为训练集，剩余的一个作为验证集，计算N次验证误差的平均值，找出验证误差平均值最小的模型，就是最佳模型（把这个模型在全体数据集上再进行训练）。
接下来，我们从理论上分析Leave-One-Out方法的可行性，即是否能够保证得到比较理想的?假设有不同的数据集D，它的期望分布记为
,则其可以通过推导，等于
的平均值。由于N-1近似为N，的平均值也近似等于
的平均值。
具体推导过程如下：
最终我们得到的结论是 的期望值和
的期望值是相近的，这代表得到了比较理想的,Leave-One-Out方法是可行的。
举一个例子，使用两个特征：Average Intensity和Symmetry加上这两个特征的非线性变换（例如高阶项）来进行手写数字识别。平面特征分布如下图所示：
Error与特征数量的关系如下图所示：
从图中我们看出，随着特征数量的增加，不断减小，先减小再增大，虽然 是不断减小的，但是它与的差距越来越大，发生了过拟合，泛化能力太差。而
（留1法得到的平均验证误差）与的分布基本一致，能较好地反映的变化。所以，我们只要使用Leave-One-Out方法得到使最小的模型，就能保证其足够小。下图是分别使用和：
很明显可以看出，使用发生了过拟合，而分类效果更好，泛化能力强。
4. V-Fold Cross Validation
接下来我们看看Leave-One-Out可能的问题是什么。首先，第一个问题是计算量，假设N=1000，那么就需要计算1000次的(每个模型需要训练1000次),再计算其平均值。当N很大的时候，计算量是巨大的，很耗费时间。第二个问题是稳定性，例如对于二分类问题，取值只有0和1两种，预测本身存在不稳定的因素，那么对所有的计算平均值可能会带来很大的数值跳动，稳定性不好。所以，这两个因素决定了Leave-One-Out方法在实际中并不常用。
针对Leave-One-Out的缺点，我们对其作出了改进。Leave-One-Out是将N个数据分成N分，那么改进措施是将N个数据分成V份（V<<N,例如V=10）,计算过程与Leave-One-Out相似。这样可以减少总的计算量，又能进行交叉验证，得到最好的g,这种方法称为V-折交叉验证。其实Leave-One-Out就是V-折交叉验证的一个极端例子(V=N)。
将数据集划分为V份（V<<N,如V=5,10等），每个模型（每组超参数配置）都要训练V次（若有M个模型就要训练M*V次），每次其中V-1份作为训练集，剩余的一份作为验证集，计算V次验证误差的平均值，找出验证误差平均值最小的模型，就是最佳模型（把这个模型在全体数据集上再进行训练）。
所以呢，一般的Validation使用V-折交叉验证来选择最佳的模型。值得一提的是Validation的数据来源也是样本集中的，所以并不能保证交叉验证的效果好，它的模型一定好。只有样本数据越多，越广泛，那么Validation的结果越可信，其选择的模型泛化能力越强。
5. 总结
本节课主要介绍了Validation验证。先从如何选择一个好的模型开始切入，例如使用
都是不太好的，最终使用来进行模型选择。然后详细介绍了Validation的过程。最后，介绍了Leave-One-Out和V-Fold Cross两种验证方法，比较它们各自的优点和缺点，实际情况下，传统机器学习方法V-Fold Cross更加常用；对于深度学习方法，由于模型训练的成本非常高，一般不进行V-Fold交叉验证（有条件的话，V-Fold交叉验证进行模型选择效果会更好），只留出一部分作为验证集（约为全体数据集的20%），剩下的作为训练集，来进行模型选择（如第一部分介绍的那样）。
