机器学习 | 台大林轩田机器学习基石课程笔记9 --- Linear Regression
上节课，我们主要介绍了在有noise的情况下，VC Bound理论仍然是成立的。同时，介绍了不同的error measure方法。本节课介绍机器学习最常见的一种算法：Linear Regression.
目录
4. Linear Regression 方法解决Linear Classification问题
1. 线性回归问题
在之前的Linear Classification课程中，讲了信用卡发放的例子，利用机器学习来决定是否给用户发放信用卡。本节课仍然引入信用卡的例子，来解决给用户发放信用卡额度的问题，这就是一个线性回归（Linear Regression）问题。
用户的特征向量为d维的x(d个特征)，加上常数项1后，维度为d+1，与权重w的线性组合即为Hypothesis,记为.线性回归的预测函数取值在整个实数空间，这跟线性分类不同。
根据上图，在一维或者多维空间里，线性回归的目标是找到一条直线（对应一维/一个特征）、一个平面（对应二维）或者更高维的超平面，使样本集中的点更接近它，也就是残留误差Residuals最小化。
一般最常用的错误测量方式是基于最小二乘法，其目标是计算误差的最小平方和，对应的权重w，即上节课介绍的squared error：
这里提一点，最小二乘法可以解决线性问题和非线性问题。线性最小二乘法的解是closed-form，即,而非线性最小二乘法没有closed-form，通常用迭代法求解。本节课的解就是closed-form的。
下面是对最小二乘法和梯度下降法的一些总结：
最小二乘法的目标：求误差的最小平方和，对应有两种：线性核非线性。
线性最小二乘法的解是closed-form，即,而非线性最小二乘法没有closed-form，通常用迭代法求解。
迭代法，即在每一步update未知量逐渐逼近解，可以用于各种各样的问题（包括最小二乘），比如求的不是误差的最小平方和而是最小立方和。梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题（线性和非线性都可以），但不仅限于最小平方和问题。高斯-牛顿法是另一种经常用于求解非线性最小二乘的迭代法（一定程度上可视为标准非线性最小二乘求解方法）。还有一种叫做Levenberg-Marquardt的迭代法用于求解非线性最小二乘问题，就结合了梯度下降和高斯-牛顿法。所以如果把最小二乘看做是优化问题的话，那么梯度下降是求解方法的一种，是求解线性最小二乘的一种，高斯-牛顿法和Levenberg-Marquardt则能用于求解非线性最小二乘。
2. 线性回归算法
样本数据误差是权重w的函数，由于x和y是已知的。我们的目标是找到合适的w，使得
最小，那么该如何计算呢？
首先，运用矩阵转换的思想，把的计算转换为矩阵形式：
向量的L2范数计算公式如下：
然后，对于此类线性回归问题，一般是个凸函数。凸函数的话，我们只要找到一阶导数等于零的位置，就找到了最优解。那么，我们将
对每个
求偏导，使得偏导等于0的
,即为最优化的权重值分布。
根据梯度的思想，对进行矩阵化求偏导处理：
（假设y是一个向量，,
）
令偏导/梯度为零，最终可以计算出权重向量w为：
最终，我们推导得到了权重向量,这是上文提到的closed-form解。其中，
又称为伪逆矩阵pseudo-inverse，记为
,维度(d+1)*N.
但是，我们注意到，伪逆矩阵中有逆矩阵的计算，逆矩阵是否一定存在？一般情况下，只要满足样本数量N远大于样本特征维度d+1，就能保证矩阵的逆是存在的，称之为非奇异矩阵。但是如果是奇异矩阵，不可逆怎么办呢？其实，大部分的计算逆矩阵的软件程序，都可以处理这个问题，也会计算出一个逆矩阵（近似）。所以，一般伪逆矩阵是可解的。
3. 泛化问题
现在，可能有这样一个疑问，就是这种求解权重向量的方法是机器学习吗？或者说这种方法满足我们之前推导VC Bound，即是否泛化能力强?
有两种观点：1、这不属于机器学习范畴。因为这种closed-form解的形式跟一般的机器学习算法不一样，而且在计算最小化误差的过程中（找到一个w使得误差最小）没有用到迭代。2、这属于机器学习范畴。因为从结果上看，和
都实现了最小化，而且实际上在计算逆矩阵的过程中，也用到了迭代。
其实，只从结果来看，这种方法的确实现了机器学习的目的。下面通过介绍一种更简单的方法，证明linear regression问题是可以通过线性最小二乘法计算得到好的和
的。
首先，我们根据平均误差的思想，把写成如图的形式，经过变换得到:
我们称为帽子矩阵，用H表示。
下面从几何图形的角度来介绍帽子矩阵H的物理意义。
图中，y是N维空间的一个向量，粉色区域表示输入矩阵X乘以不同权值向量w所构成的空间，根据所有w的取值，预测输出（向量）都被限定在粉色的空间中。向量就是粉色空间中的一个向量，代表预测的一种。y是实际样本的标签向量。
机器学习的目的是在粉色空间中找到一个，使它最接近真实的y，那么我们只要将y在粉色空间上作垂直投影即可，投影得到的
即为在粉色空间内最接近y的向量。这样即使平均误差
最小。
从图中可以看出，是y的投影，已知
,那么H表示的就是将y投影到
的一种操作（矩阵表示一种映射）。图中绿色的箭头
是向量y与
相减，
垂直于粉色区域。已知
那么I-H表示的就是将y投影到
即垂直于粉色区域的一种操作。这样的话，我们就赋予了H和I-H不同但又有联系的物理意义。
这里trace(I-H)称为I-H的迹，值为N-(d+1)。这条性质很重要，一个矩阵的 trace等于该矩阵的所有特征值(Eigenvalues)之和(原始定义矩阵的trace等于对角线元素之和)。下面给出简单证明（I的维度N*N）：
矩阵trace的一些性质：
介绍下该I-H这种转换的物理意义：原来有一个有N个自由度的向量y，投影到一个有d+1维的空间x（代表一列的自由度，即单一输入样本的参数，如图中粉色区域），而余数剩余的自由度最大只有N-(d+1)种。
在存在noise的情况下，上图变为：
图中，粉色空间的红色箭头是目标函数f(x)，虚线箭头是noise，可见，实际样本标签y由f(x)（真实标签，上帝视角，f未知目标函数）和noise相加得到。由上面推导，已知向量y经过I-H转换为,而noise与y是线性变换关系，那么根据线性函数知识，我们推导出noise经过I-H也能转换为
.则对于样本平均误差，有下列推导成立：
即
同样，对有如下结论：
这个证明有点复杂，但是我们可以这样理解:形式上只差了
项，从哲学上来说，
是我们看得到的样本的平均误差，如果有noise，我们把预测往noise那边偏一点，让
好看一点点，所以减去
。那么同时，新的样本
是我们看不到的，如果noise在反方向，那么
就应该加上
。
我们把画出来，得到学习曲线：
当N足够大时，逐渐接近，满足
,且数值保持在noise level。这就类似VC理论，证明了当N足够大的时候，这种线性最小二乘法是可以进行机器学习的，算法有效！
4. Linear Regression 方法解决Linear Classification问题
之前介绍的Linear Classification问题使用的Error Measure方法用的是0/1 error，那么Linear Regression的squared error是否能够应用到Linear Classification问题？
下图展示了两种错误的关系，一般情况下，squared error曲线在0/1 error曲线之上。即.
根据之前的VC理论，的上界满足：
从图中可以看出，用代替
，
仍有上界，只不过是上界变得宽松了。也就是说用线性回归方法仍然可以解决线性分类问题，效果不会太差。二元分类问题得到了一个更宽松的上界，但是也是一种更有效率的求解方式。
对于线性分类问题，可以把它当作一个线性回归问题来做，使用线性回归问题的解法，求得(最好的参数),把
代入分类模型，可以作为一个基础的分类器或者作为PLA/pocket 等线性分类算法的初始权重向量值。
5. 总结
本节课，我们主要介绍了Linear Regression。首先，我们从问题出发，想要找到一条直线拟合实际数据值；然后，我们利用最小二乘法，用解析形式推导了权重w的closed-form解；接着，用图形的形式得到,证明了linear regression是可以进行机器学习的(当N足够大时，
)；最后，我们证明linear regressin这种方法可以用在binary classification上，虽然上界变宽松了，但是仍然能得到不错的学习方法。