什么是梯度下降法？

梯度下降法简单来说就是一种寻找目标函数最小化的方法。

张戎：深度学习中的优化算法

在深度学习中，经常有人会拿下面这幅图来比较各种优化算法的性质，包括传统的 SGD，Momentum SGD，AdaGrad，RMSProp 和 Adam 等。不过光看图可能无法理解其中的精妙之处，本文将会从数学的基础知识出发，初步介绍深度学习中的一些优化算法，最后进行一些简单的案例分析。

数学基础知识回顾

一元函数的导数与 Taylor 级数

在微积分中，函数 在点 上的导数定义为： 它在几何上指的就是函数 在 上的切线方向。

通常来说，为了计算某个函数 的最大值或者最小值，通常都会计算它的导数 ，然后求解方程 就可以得到函数的临界点，进一步判断这些临界点是否是最大值或者最小值。但是临界点并不一定是全局最大值或者全局最小值，甚至不是局部的最大值或者局部最小值。

例如：函数 ，它的导数是 ，因此 是它的临界点。但 则不是这个函数的局部最大值或者局部最小值点，因为 且 。

从 Taylor 级数的角度来看， 在 附近的 Taylor 级数是

对于临界点 而言，它满足条件 。当 时，可以得到 是 的局部最小值；当 时，可以得到 是 的局部最大值。而对于上面的例子 而言，临界点 的二阶导数则是 ，因此使用上面的方法则无法判断临界点 是否是局部极值。

多元函数的梯度和 Taylor 级数

对于多元函数 而言，同样可以计算它们的“导数”，也就是偏导数和梯度，i.e. 它的梯度可以定义为：

而多元函数 在点 上的 Taylor 级数是：

其中 表示 Hessian 矩阵。如果 是临界点，并且 Hessian 矩阵是正定矩阵的时候， 在 处达到局部极小值。

梯度下降法

从数学上的角度来看，梯度的方向是函数增长速度最快的方向，那么梯度的反方向就是函数减少最快的方向。那么，如果想计算一个函数的最小值，就可以使用梯度下降法的思想来做。假设希望求解目标函数 的最小值，可以从一个初始点 开始，基于学习率 构建一个迭代过程：当 时，

其中 ，一旦达到收敛条件的话，迭代就结束。从梯度下降法的迭代公式来看，下一个点的选择与当前点的位置和它的梯度相关。反之，如果要计算函数 的最大值，沿着梯度的反方向前进即可，也就是说：

其中 。整体来看，无论是计算函数的最大值或者最小值，都需要构建一个迭代关系 ，那就是：

也就是说对于所有的 ，都满足迭代关系 。所以，在以上的两个方法中，我们可以写出函数 的表达式为：

深度学习中的优化算法

在本文中，假设 是每个样本的损失函数， 表示一个关于输入 和参数 的函数，并且 表示 所对应的目标值。

案例分析

案例1：

针对这个函数 而言，从数学上我们可以轻易地得到最小值点就是 。不过在这里我们可以验证随机梯度下降法的效果。首先计算函数 的梯度为：

其次，给定一个随机的初始点 ，通过梯度可以得到迭代公式为：

其中 表示学习率， 表示迭代次数。因此，可以计算出具体的公式为：

于是可以得到：

意思就是说，使用随机梯度下降法我们可以得到函数 的最小值是 。

案例2：

不过，随机梯度下降法也有着自身的局限性。针对很多高维非凸函数而言，鞍点的数量其实远远大于局部极小值（极大值）的数量。因此，如何快速的逃离鞍点就是深度学习中大家所研究的问题之一。而比较简单的鞍点就是马鞍面函数 中的 点。而函数 在 上并没有最小值，因为 。 同时，函数 的偏导数是：

而 在点 上则满足以下几个性质：

也就是说， 这一点的 Hessian 矩阵并不是正定矩阵。

随机梯度下降法：如果初始点是 ，那么随机梯度下降法（SGD）就可以写成：对于所有的 ，有

其中 是学习率。

使用动量的随机梯度下降法：如果初始点是 ，初始速度是 ，学习率是 ，动量参数是 ，那么使用动量的随机梯度下降法就可以写成： ，

AdaGrad 算法：如果初始点是 ，学习率是 ， 是小常数，那么 AdaGrad 算法就可以写成： ，

其中 是学习率， 是一个小常数。

Case 1：

当 时，如果使用随机梯度下降法，就可以得到 ，

因此， 。 通过随机梯度下降法（SGD）在初始值为 的前提下并不能计算出函数 的最小值，而是会停止在 鞍点这个地方，最终无法逃离鞍点。

同理，如果使用基于动量的 SGD 算法，就要看初始速度的设置了，如果初始的速度为 ，那么最终都会收敛到 这个点上。不过，如果 ，那么就可以在一定次数的迭代之后逃离 。

根据同样的分析思路，在本文中所写的 AdaGrad，RMSProp，Adam 算法中，如果初始点是 并且算法参数都是默认的话，使用这些方法同样无法逃离鞍点 ，也就是说最终都会收敛到 上。

Case 2：

在这种情况下，可以考虑在 的基础上给纵坐标加上一个微小的扰动。不妨假设初始点为 。下面计算各个算法在这个初始值下的收敛效果。在实际的应用中，需要迭代的次数越少越好。于是，通过计算 的值，就可以进一步判断哪个算法（SGD，Momentum SGD，AdaGrad，RMSProp，Adam）更加容易逃离鞍点。

随机梯度下降法：通常情况下， 可以设置为 。从随机梯度下降法的公式来看，就可以得到如下迭代公式：

其实， ，i.e. 使用梯度下降法同样可以找到函数 的最小值。但是，如果 ，则 需要满足条件：

换言之，需要迭代 次左右才能够使得 。

AdaGrad 算法：通常来说，在 AdaGrad 算法中，算法的参数默认值是 和 。由于初始值 ，所以计算可以得到：

最后通过写程序就可以证明，在 AdaGrad 的默认参数下，只需要 次左右的迭代就可以实现 。

RMSProp 算法：

在这种情况下，为了简单起见，可以令衰减速率 ，那么同样可以写出迭代公式为： ，有

在 RMSProp 里面，一般来说小常数 ， 。通过直接计算可以知道，在这种情况和参数设置下，在迭代了 轮左右的时候，就会出现 的情况。

整体来说，在初始值为 的情况下，无论是 SGD，Momentum SGD，AdaGrad 算法，还是 RMSProp 算法，都会逃离鞍点 。只不过 AdaGrad 和 RMSProp 算法的逃离速度比 SGD 快了许多。