CQF笔记M1L1资产的随机行为

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Module 1 Building Blocks of Quant Finance

Lecture 1 The Random Behaviour of Assets

三种分析方法

• 基本面分析：从财务报表/管理团队等角度分析公司（股票）价值。存在的问题：
  • 难以分析：大量问题没有体现在报表中
  • The market can stay irrational longer than you can stay solvent(Keynes).市场会长期不理性：持有低估值的公司导致持续亏损
• 技术分析：只关心从历史股价以及从中中提取的信息，大量研究表明这种方法是无用功
• 量化分析：用随机性对股价/利率建模

备注：CQF关注量化金融，上面这段比较可能有失偏颇。关注点在于：量化分析基于对随机性建模。

收益率

SPX指数1950年至今的日回报分布近似为正态分布（这里可以理解为实证研究）

假设收益率为正态分布，则有
$\begin{aligned} &R_i = \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i} = mean + standard deviation \times \phi \\ &其中 \phi是标准正态分布,\\ & 均值mean和标准差standard deviation都是常数 \end{aligned}$​Ri​=Si​Si+1​−Si​​=mean+standarddeviation×ϕ其中ϕ是标准正态分布,均值mean和标准差standarddeviation都是常数​

离散时间下的收益率

1. 单期时间用$\delta t$δt表示，单位为年，
   计算SPX收益率时，单期时间$\delta t$δt为一天，所以$\delta t = \frac{1}{252}$δt=2521​

2. 用$\mu$μ表示年化收益率(growth rate/drift rate), 则单期收益率的均值$mean = \mu \delta t$mean=μδt
   忽略收益率等式中的随机项
   $\begin{aligned} R_i = \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i} = \mu \delta t \end{aligned}$Ri​=Si​Si+1​−Si​​=μδt​
   $\begin{aligned} S_{i+1}= {S_i} (1 + \mu \delta t) \end{aligned}$Si+1​=Si​(1+μδt)​
   $\begin{aligned} S_{M} &= {S_{M-1}} (1 + \mu \delta t) \\ &= {S_{M-2}} (1 + \mu \delta t)^2 \\ &= \cdots \\ &= {S_{0}} (1 + \mu \delta t)^M \\ &= {S_{0}} e^{Mlog(1 + \mu \delta t)} \\ &\approx {S_{0}} e^{M\mu \delta t}, \ 当\delta t \rightarrow 0时 \\ &= {S_{0}} e^{\mu t} \\ \end{aligned}$SM​​=SM−1​(1+μδt)=SM−2​(1+μδt)2=⋯=S0​(1+μδt)M=S0​eMlog(1+μδt)≈S0​eMμδt, 当δt→0时=S0​eμt​
   上述推导说明，当$M \rightarrow \infin, \ \delta t \rightarrow 0$M→∞, δt→0 时，，收益率与步长$\delta t$δt无关

3. 用$\sigma$σ表示收益率的年化波动率，则单期收益率的波动率为$standard deviation=\sigma \sqrt{\delta t}$standarddeviation=σδt​
   备注：这里隐含了一个假设：单期收益率相互独立，多期收益率满足平方根法则
   如果$X, Y相互独立, 则COV(X, Y) = 0, \ V(X+Y)=V(X)+V(Y) + 2COV(X, Y)=V(X)+V(Y)$X,Y相互独立,则COV(X,Y)=0, V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2COV(X,Y)=V(X)+V(Y)

4. 收益率等式
   $\begin{aligned} R_i = \frac{S_{i+1} - S_i}{S_i} &= mean + standard deviation \times \phi \\ &= \mu \delta t + \sigma \phi \sqrt{\delta t} \end{aligned}$Ri​=Si​Si+1​−Si​​​=mean+standarddeviation×ϕ=μδt+σϕδt​​
   $\begin{aligned} S_{i+1} - S_i = \mu S_i \delta t + \sigma S_i \phi \sqrt{\delta t} \end{aligned}$Si+1​−Si​=μSi​δt+σSi​ϕδt​​
   这个等式是蒙特卡洛模拟的基石，是随机游走的离散时间模型

连续时间下的收益率

$\begin{aligned} S_{i+1} - S_i = \mu S_i \delta t + \sigma S_i \phi \sqrt{\delta t} \end{aligned}$Si+1​−Si​=μSi​δt+σSi​ϕδt​​

在连续时间条件下

1. 等式右边的第一项$\mu S_i \delta t$μSi​δt中, $\delta t$δt变为$dt$dt

2. 等式右边的第二项$\sigma S_i \phi \sqrt{\delta t}$σSi​ϕδt​中, 因为随机变量$\phi$ϕ的存在, $\sqrt{\delta t}$δt​不能直接变为$\sqrt{dt}$dt​
   将$\phi \sqrt{\delta t}$ϕδt​记为$dX$dX, 有$E[dX]=0, E[dX^2] = dt$E[dX]=0,E[dX2]=dt, $dX$dX称为维纳过程 Wiener Process

3. 资产价格的连续时间模型$dS = \mu S dt + \sigma S dX$dS=μSdt+σSdX
   这是一个随机微分方程Stochastic Differential Equation (SDE)