高斯分布相乘推导

假设两个高斯（正态）分布概率模型服从：
$p(w) \sim N(\mu_0, \sigma_0^2)\tag{1-1}$p(w)∼N(μ0​,σ02​)(1-1)
$p(v)\sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\tag{1-2}$p(v)∼N(μ1​,σ12​)(1-2)
均为变量$x$x的分布。那么$p(w)p(v)$p(w)p(v)的分布形式指数部分推导过程如下：

相乘后的系数部分结果为:
$\frac{1}{2\pi\sigma_0\sigma_1}\times e^{-\frac{(\mu_0 - \mu_1)^2}{2(\sigma_0^2 + \sigma_1^2)}}\tag{1-4}$2πσ0​σ1​1​×e−2(σ02​+σ12​)(μ0​−μ1​)2​(1-4)

指数结果为：
$-\frac{(x-\frac{\mu_0\sigma_1^2+ \mu_1\sigma_0^2}{\sigma_0^2+\sigma_1^2})^2}{\frac{2\sigma_0^2\sigma_1^2}{\sigma_0^2+\sigma_1^2}}\tag{1-5}$−σ02​+σ12​2σ02​σ12​​(x−σ02​+σ12​μ0​σ12​+μ1​σ02​​)2​(1-5)
那么和标准的高斯分布比较后得相乘后的均值和方差为：
$\mu =\frac{\mu_0\sigma_1^2+ \mu_1\sigma_0^2}{\sigma_0^2+\sigma_1^2}\tag{1-6}$μ=σ02​+σ12​μ0​σ12​+μ1​σ02​​(1-6)
$\sigma^2 = \frac{\sigma_0^2\sigma_1^2}{\sigma_0^2+\sigma_1^2}\tag{1-7}$σ2=σ02​+σ12​σ02​σ12​​(1-7)