（转）Parzen window概率密度估计
主要参考资料：http://www.personal.rdg.ac.uk/~sis01xh/teaching/CY2D2/Pattern2.pdf
将一维的情况扩展到多维，现在的x就是一个向量，p(x)也需要满足下列条件：
2、概率密度函数的积分值为1
在数学上一个连续概率密度函数p(x)的需满足以下的条件：
1、x在a和b之间的概率为:
2、对所有的x，p(x)非负
3、p(x)的积分值为1
最经常使用的概率密度函数就是高斯函数（正态分布）
将一维的情况扩展到多维，现在的x就是一个向量，p(x)也需要满足下列条件：
1、在一个区域R内x的概率为
2、概率密度函数的积分值为1
密度估计
给点n个数据样本x1,x2,....,xn,我们可以估计概率密度函数p(x),对于新的样本x就可以计算出相应的p(x).这个过程就是密度估计。
给点n个数据样本x1,x2,....,xn,我们可以估计概率密度函数p(x),对于新的样本x就可以计算出相应的p(x).这个过程就是密度估计。
密度估计的基础是：一个向量x落入到区域R的概率为
假设R非常小，所以p(x)的变化也很小，上面的公式就改写为：
其中V是R的“体积”
另一方面，假设x1,...,xn是根据密度函数p(x)独立取的n个样本点，其中有k个样本点落入到区域R中，关于R的概率就为：
这样就可以得到一个p(x)的估计函数：
Parzen window密度估计
假设R是以x为中心的超立方体，h为这个超立方体的边长，在2-D的方形中有V=h*h，3-D的立方体中有V=h^3。
给定上面的公式，表示的是Xi是否落在方形中。
Parzen概率密度估计公式的表示如下：
其中
被称作窗口函数(window
function)。
同时可以对窗口函数做一定的泛化，就有其他的Parzen window密度估计方法。
例如在1-D的情况下使用Gaussian函数：
这种方法就相当于将n个点为中心的高斯函数计算平均。其中标准差
需要预先设定。
例子：
给定五个点：x1=2, x2=2.5, x3=3, x4=1, x5=6,
计算x=3位置的Parzen概率密度函数，采用
的高斯函数作为window
function。
计算过程如下:
采用图形的方式进行显示，并假设上面的5个点对整个密度函数做出相等的贡献：
采用Parzen Window对这个五个点估计得到的概率密度函数为：