H.B.Pacejke轮胎模型（魔术公式）

轮胎的非线性特性对汽车的转向特性及行驶稳定性有非常重要的影响。进行汽车控制研究往往要建立精确的轮胎模型。目前应用比较广泛的轮胎模型有：

• Fiala轮胎模型
• UA轮胎模型
• 郭孔辉轮胎模型（幂指数公式）
• H.B.Pacejke轮胎模型（魔术公式）

H.B.Pacejke轮胎模型（魔术公式）是一个基于试验数据的经验轮胎模型，可以通过对试验数据拟和而得到。这种试验通过专用的试验台架或试验车进行。这些试验设备能够排除次要因素模拟出特定的轮胎行驶条件，准确地再现轮胎的各种工作情况。用于试验过程中检测各类数据的仪器具有很高的精度和灵敏度，并配有功能强大的数据处理系统，从而保证了试验数据准确可靠。魔术公式轮胎模型对轮胎力学特性的表达式单一，拟合精度高，适用于产品设计、汽车动态模拟以及实验对比等要求精确描述轮胎力学特性的领域，是目前汽车操纵动力学研究中最为流行的经验公式之一。下面基于魔术公式轮胎模型讨论车辆轮胎的力学特性。

1轮胎坐标系

在轮胎力学的研究中，为了描述方便，或处于习惯，曾经产生了很多不同的坐标系，其中包括用于轮胎力学理论分析的坐标系，美国汽车工程师学会提出的用于描述轮胎六分力的 SAE坐标系，以及用于车辆系统动力学和多体动力学软件连接的ISO坐标系。魔术公式轮胎模型采用SAE坐标系，如图1所示。

图1 SAE轮胎坐标系

轮胎与路面的接触区域称为轮胎的接地印迹（简称接地印迹），在这个区域内，轮胎与路面相互作用，产生使汽车实现各种运动的力。对路面提供的接地印迹内的分布力，常将其向印迹中心进行简化，形成一空间力系，称之为“轮胎六分力”。

SAE坐标系规定：侧偏角向右转弯为正、向左转弯为负，侧向力向右转弯为正、向左转弯为负。根据轮胎坐标系，通常将轮胎力学特性分为平面内（in-plane）特性及平面外（out-of-plane）特性两类，平面内特性包括轮胎的纵向力、垂直力及滚动阻力矩特性，平面外特性包括轮胎的侧向力、回正力矩及翻转力矩特性。轮胎侧偏特性属于平面外特性。

2 魔术公式模型

魔术公式是由荷兰Delft理工大学H.B.Pacejke教授等人提出并发展起来的，它是用三角函数的组合公式建立的轮胎的纵向力、侧向力和回正力矩的数学模型，因只用一套公式就完整地表达了纯工况下轮胎的力特性，故称为“魔术公式”。魔术公式的一般表达式为：
${{F}_{y}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{1}$Fy​=D⋅sin(C⋅arctan(B⋅x−E(B⋅x−arctan(B⋅x))))+Sv​(1)

$Y=y+\Delta{{S}_{v}}\tag{2}$Y=y+ΔSv​(2)

$x=X+\Delta {{S}_{h}}\tag{3}$x=X+ΔSh​(3)

式中：Y 表示侧向力、纵向力或回正力矩， X 表示侧偏角$\alpha$α或滑移率S 。
　
通过实验可以得到公式中峰值因子、形状因子、曲率因子和刚度因子等参数。这些参数带入（1）～（3）式后，可得到纵向力、侧向力、回正力矩的不同计算公式。
　
轮胎纵向力的计算公式：　
${{F}_{x}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{4}$Fx​=D⋅sin(C⋅arctan(B⋅x−E(B⋅x−arctan(B⋅x))))+Sv​(4)

式中：
$C={{B}_{0}}$C=B0​；
$D=({{B}_{1}}\cdot F_{z}^{2}+{{B}_{2}}\cdot {{F}_{z}})$D=(B1​⋅Fz2​+B2​⋅Fz​);
$BCD=({{B}_{3}}\cdot F_{z}^{2}+{{B}_{4}}\cdot {{F}_{z}})\cdot {{e}^{(-{{B}_{5}}\cdot {{F}_{z}})}}$BCD=(B3​⋅Fz2​+B4​⋅Fz​)⋅e(−B5​⋅Fz​)
$B=BCD/(C\cdot D)$B=BCD/(C⋅D)
${{S}_{h}}={{B}_{9}}\cdot {{F}_{z}}+{{B}_{10}}$Sh​=B9​⋅Fz​+B10​
${{S}_{v}}=0$Sv​=0
$x=S+\Delta {{S}_{h}}$x=S+ΔSh​
$E={{B}_{6}}\cdot F_{z}^{2}+{{B}_{7}}\cdot {{F}_{z}}+{{B}_{8}}$E=B6​⋅Fz2​+B7​⋅Fz​+B8​
轮胎的侧向力计算公式：　
${{F}_{y}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{5}$Fy​=D⋅sin(C⋅arctan(B⋅x−E(B⋅x−arctan(B⋅x))))+Sv​(5)

其中：
$C={{A}_{0}}$C=A0​
$D=({{A}_{1}}\cdot F_{z}^{2}+{{A}_{2}}\cdot {{F}_{z}})$D=(A1​⋅Fz2​+A2​⋅Fz​)
$BCD={{A}_{3}}\cdot \sin (\arctan ({{F}_{z}}/{{A}_{4}})\cdot 2)\cdot (1-{{A}_{5}}\cdot \left| \gamma \right|)$BCD=A3​⋅sin(arctan(Fz​/A4​)⋅2)⋅(1−A5​⋅∣γ∣)
$B=BCD/(C\cdot D)$B=BCD/(C⋅D)
${{S}_{h}}={{A}_{9}}\cdot {{F}_{z}}+{{A}_{10}}+{{A}_{8}}\cdot \gamma$Sh​=A9​⋅Fz​+A10​+A8​⋅γ
$x=a+\Delta {{S}_{h}}$x=a+ΔSh​
${{S}_{v}}={{A}_{11}}\cdot {{F}_{z}}\cdot \gamma +{{A}_{12}}\cdot {{F}_{z}}+{{A}_{13}}$Sv​=A11​⋅Fz​⋅γ+A12​⋅Fz​+A13​
$E={{A}_{6}}\cdot F_{z}^{{}}+{{A}_{7}}$E=A6​⋅Fz​+A7​

轮胎回正力矩计算公式为：　
${{M}_{z}}=D\cdot \sin (C\cdot \arctan (B\cdot x-E(B\cdot x-\arctan (B\cdot x))))+{{S}_{v}}\tag{6}$Mz​=D⋅sin(C⋅arctan(B⋅x−E(B⋅x−arctan(B⋅x))))+Sv​(6)

其中：
$C={{C}_{0}}$C=C0​
$D=({{C}_{1}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{2}}\cdot {{F}_{z}})$D=(C1​⋅Fz2​+C2​⋅Fz​)
$BCD=({{C}_{3}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{4}}\cdot {{F}_{z}})\cdot (1-{{C}_{6}}\cdot \left| \gamma \right|\cdot e\cdot (-{{C}_{5}})\cdot {{F}_{z}})$BCD=(C3​⋅Fz2​+C4​⋅Fz​)⋅(1−C6​⋅∣γ∣⋅e⋅(−C5​)⋅Fz​)
$B=BCD/(C\cdot D)$B=BCD/(C⋅D)
${{S}_{h}}={{C}_{11}}\cdot \gamma +{{C}_{12}}\cdot {{F}_{z}}+{{C}_{13}}$Sh​=C11​⋅γ+C12​⋅Fz​+C13​
$x=a+\Delta {{S}_{h}}$x=a+ΔSh​
${{S}_{v}}=({{C}_{14}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{15}}\cdot {{F}_{z}})\cdot \gamma +{{C}_{16}}\cdot {{F}_{z}}+{{C}_{17}}$Sv​=(C14​⋅Fz2​+C15​⋅Fz​)⋅γ+C16​⋅Fz​+C17​
$E=({{C}_{7}}\cdot F_{z}^{2}+{{C}_{8}}\cdot {{F}_{z}}+{{C}_{9}})\cdot (1-{{C}_{10}}\cdot \left| \gamma \right|)$E=(C7​⋅Fz2​+C8​⋅Fz​+C9​)⋅(1−C10​⋅∣γ∣)

式中：D为峰值因子，表示曲线的最大值；B 为刚度因子；E 为曲线曲率因子，表示曲线最大值附近的形状；C 为曲线形状因子，即曲线是象侧向力、纵向力还是回正力矩；${{S}_{h}}$Sh​ 为曲线的水平方向漂移；${{S}_{v}}$Sv​为曲线的垂直方向漂移；$\alpha$α为轮胎侧偏角；S 为纵向滑移率；γ 为轮胎侧倾角，它对曲线零点的水平、垂直漂移和刚度分别进行修正；Fz 为垂直载荷；Ai、 Bj、Ck 分别为拟合参数（i =1,…,13 、 j =1,… ,10 、k =1,… ,17 ）。