内置式永磁同步电机IPMSM数学模型

1、永磁同步电机简介

三相永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM)按照转子结构的不同可分为:

• 表贴式永磁同步电机（Surface-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, SPMSM)
• 内置式永磁同步电机(Inner-mounted Permanent Magnet Synchronous Motor, IPMSM)

其结构图如图1所示。

图1 永磁同步电机的转子结构简图 SPMSM和IPMSM在物理特性上分别有如下特点：

(1)表贴式永磁同步电机：

• 永磁体呈瓦片状贴附在转子的外表面
• 气隙均匀，气隙的磁密波形趋近于正弦波
• 永磁材料的磁导率接近于空气磁导率1
• 转子磁路对称，轴电感相等

(2)内置式永磁同步电机：

• 永磁体位于转子内部
• 气隙不均匀
• 磁极直轴磁阻小
• 相邻的极间交轴磁阻大，使得转子磁路不对称，可以利用其产生较大的同步转矩
• 轴电感不相同，电磁性能表现为凸极性

2 内置式PMSM的坐标变换原理及其数学模型

PMSM数学模型包括a-b-c三相坐标系、α-β两相静止坐标系和d-q两相同步旋转坐标系下三种数学模型，本文所研究的IPMSM具有a、b、c三相对称绕组，为了简化分析其数学模型，需假设IPMSM为理想电机，满足以下条件：

• 忽略电机的涡流和磁滞损耗；
• 忽略电机定、转子的铁芯饱和效应；
• 电机稳定运行时，三相绕组的电流波形为标准的正弦波；
• 永磁材料电导率为0，其内部磁导率假定与空气磁导率相同。

基于以上假设对三种坐标系分别作了坐标变换和数学模型的研究。

(1) a-b-c三相坐标系

在a-b-c三相坐标系下，IPMSM的电压方程可表示为
$\left[ \begin{matrix} {{u}_{a}} \\ {{u}_{b}} \\ {{u}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]\tag{1}$⎣⎡​ua​ub​uc​​⎦⎤​=⎣⎡​Rs​00​0Rs​0​00Rs​​⎦⎤​⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​+⎣⎡​ψa​ψb​ψc​​⎦⎤​(1)

式中：${{u}_{a}}$ua​、${{u}_{b}}$ub​、${{u}_{c}}$uc​为定子三相电压，V；${{i}_{a}}$ia​、${{i}_{b}}$ib​、${{i}_{c}}$ic​为定子三相电流，A；${{R}_{s}}$Rs​为定子电阻，Ω；${{\psi }_{a}}$ψa​、${{\psi }_{b}}$ψb​和${{\psi }_{c}}$ψc​分别为a、b、c三相绕组的磁链，Wb。

式中三相绕组的磁链方程可表示为
$\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{a}} \\ {{\psi }_{b}} \\ {{\psi }_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{L}_{a}} & {{M}_{ab}} & {{M}_{ac}} \\ {{M}_{ba}} & {{L}_{b}} & {{M}_{bc}} \\ {{M}_{ca}} & {{M}_{cb}} & {{L}_{c}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}-\frac{2\pi }{3} \right) \\ \cos \left( {{\theta }_{e}}+\frac{2\pi }{3} \right) \\ \end{matrix} \right] \tag{2}$⎣⎡​ψa​ψb​ψc​​⎦⎤​=⎣⎡​La​Mba​Mca​​Mab​Lb​Mcb​​Mac​Mbc​Lc​​⎦⎤​⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​+ψf​⎣⎡​cosθe​cos(θe​−32π​)cos(θe​+32π​)​⎦⎤​(2)

式中：${{L}_{a}}$La​、${{L}_{b}}$Lb​、${{L}_{c}}$Lc​为a-b-c三相绕组自感系数，H；${{\psi }_{f}}$ψf​为永磁磁极产生的与定子绕组交链的磁链，Wb；${{M}_{xy}}={{M}_{yx}}(x=abc,y=abc)$Mxy​=Myx​(x=abc,y=abc)为定子绕组互感系数，H；${{\theta }_{e}}$θe​为电机转子位置弧度值，$rad$rad。

在a-b-c三相坐标系下，其数学模型是与转子瞬时位置有关的非线性方程，使得IPMSM电压和磁链方程较复杂。因此，需要建立更简单的数学模型，以方便对IPMSM进行控制。

(2) α-β两相静止坐标系

先建立永磁同步电机三个坐标系的关系，建立的两相静止坐标系中α轴与三相坐标系a相轴线重合，而β轴与α轴呈90º。建立的两相旋转坐标系d轴与转子磁链轴线重合，其方向与IPMSM转子励磁磁链方向相同，将q轴逆时针超前d轴90º，建立d-q轴坐标系。其坐标系之间的关系如图2所示，从图中可以看a轴与d轴夹角为${{\theta }_{e}}$θe​，假设一电流i，其与d轴夹角为${{\theta }_{m}}$θm​，${{i}_{a}}{{i}_{b}}{{i}_{c}}$ia​ib​ic​为i在a-b-c轴系下的电流分量，${{i}_{\alpha }}{{i}_{\beta }}$iα​iβ​为其在α-β轴系的电流分量，${{i}_{d}}{{i}_{q}}$id​iq​为d-q轴系下的电流分量，由电流i为基础研究坐标变换。

图2三种坐标系之间的关系

首先为了简化自然坐标系(a-b-c相)下IPMSM的数学模型，将a-b-c轴系变换到α-β轴系，此变换称为Clark变换，根据图2各坐标之间的关系，变换为矩阵形式可得
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ \begin{matrix} & {{i}_{\beta }} \\ & {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{abc/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right] \tag{3}$⎣⎡​iα​​iβ​i0​​​⎦⎤​=⎣⎢⎡​1022​​​−21​23​​22​​​−21​−23​​22​​​⎦⎥⎤​⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​=Tabc/αβ​⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​(3)

式中：${{\mathbf{T}}_{\text{abc/}\alpha \beta }}$Tabc/αβ​为Clark变换矩阵。将α-β轴系变换到a-b-c轴系的坐标变换称为反Clark变换，如式(4)中${{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}}$Tαβ/abc​，表示为：
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{a}} \\ {{i}_{b}} \\ {{i}_{c}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}{} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \begin{matrix} & -\frac{1}{2} \\ & -\frac{1}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /abc}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ {{i}_{0}} \\ \end{matrix} \right] \tag{4}$⎣⎡​ia​ib​ic​​⎦⎤​=⎣⎢⎡​1​−21​−21​​​0​23​​−23​​​​22​​​22​​22​​​​⎦⎥⎤​⎣⎡​iα​iβ​i0​​⎦⎤​=Tαβ/abc​⎣⎡​iα​iβ​i0​​⎦⎤​(4)

式中：${{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /\text{abc}}}$Tαβ/abc​为反Clark变换矩阵。通过Clark变换由式(1)、(2)、(3)联立可得α-β两相静止坐标系下的电压方程为
$\left[ \begin{matrix} {{u}_{\alpha }} \\ {{u}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {{R}_{s}} & 0 \\ 0 & {{R}_{s}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+\frac{d}{dt}\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{5}$[uα​uβ​​]=[Rs​0​0Rs​​][iα​iβ​​]+dtd​[ψα​ψβ​​](5)

其中，
$\left[ \begin{matrix} {{\psi }_{\alpha }} \\ {{\psi }_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} L\text{+}\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} & \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} \\ \Delta Lsin2{{\theta }_{e}} & L-\Delta L\cos 2{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]+{{\psi }_{f}}\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} \\ sin{{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right] \tag{6}$[ψα​ψβ​​]=[L+ΔLcos2θe​ΔLsin2θe​​ΔLsin2θe​L−ΔLcos2θe​​][iα​iβ​​]+ψf​[cosθe​sinθe​​](6)

式中：${{u}_{\alpha }}{{u}_{\beta }}$uα​uβ​为定子电压的α-β轴分量；${{\psi }_{\alpha }}{{\psi }_{\beta }}$ψα​ψβ​为磁链的α-β轴分量；$L=\left( Ld+Lq \right)/2$L=(Ld+Lq)/2，$\Delta L=(LdLq)/2$ΔL=(LdLq)/2 ，分别为d、q轴电感均值和差值。

α-β两相静止坐标系下转矩方程为：
${{T}_{e}}={{p}_{n}}\left[ {{\psi }_{\alpha }}{{i}_{\beta }}-{{\psi }_{\beta }}{{i}_{\alpha }} \right] \tag{7}$Te​=pn​[ψα​iβ​−ψβ​iα​](7)

其中${{p}_{n}}$pn​为电机极对数。相比较于a-b-c坐标系下的模型，α-β坐标系数学模型得到了一定简化。但对于IPMSM，其${{L}_{d}}$Ld​≠${{L}_{q}}$Lq​，使得在α-β坐标系下IPMSM的电压、磁链、转矩方程仍是非线性方程组。因此，需对其数学模型进行进一步简化。

(3) d-q两相同步旋转坐标系

图2中将α-β轴系变换到$d\text{-}q$d-q轴系的坐标变换称为Park变换，如式(8)中${{\mathbf{T}}_{\alpha \beta /dq}}$Tαβ/dq​，根据坐标关系可以推出
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & \sin {{\theta }_{e}} \\ -\sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{\alpha \beta /dq}}\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right] \tag{8}$[id​iq​​]=[cosθe​−sinθe​​sinθe​cosθe​​][iα​iβ​​]=Tαβ/dq​[iα​iβ​​](8)

将$d\text{-}q$d-q轴系变换到$\alpha \text{-}\beta$α-β轴系的坐标变换称为反Park变换，如式(9)中${{\mathbf{T}}_{dq/\alpha \beta }}$Tdq/αβ​，根据坐标关系可以推出:
$\left[ \begin{matrix} {{i}_{\alpha }} \\ {{i}_{\beta }} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \cos {{\theta }_{e}} & -\sin {{\theta }_{e}} \\ \sin {{\theta }_{e}} & \cos {{\theta }_{e}} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right]={{T}_{dq/\alpha \beta }}\left[ \begin{matrix} {{i}_{d}} \\ {{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right] \tag{9}$[iα​iβ​​]=[cosθe​sinθe​​−sinθe​cosθe​​][id​iq​​]=Tdq/αβ​[id​iq​​](9)
将式(5)进行Park变换可得：
$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{d}}-{{\omega }_{e}}{{\psi }_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+\frac{d}{dt}{{\psi }_{q}}+{{\omega }_{e}}{{\psi }_{d}} \\ \end{matrix} \right. \tag{10}${ud​=Rs​id​+dtd​ψd​−ωe​ψq​uq​=Rs​iq​+dtd​ψq​+ωe​ψd​​(10)

式中：${{u}_{d}}$ud​、${{u}_{q}}$uq​分别为定子电压的$d\text{-}q$d-q轴分量，${{\psi }_{d}}$ψd​、${{\psi }_{q}}$ψq​分别为磁链的$d\text{-}q$d-q轴分量，${{\omega }_{e}}$ωe​为磁场旋转电角速度，rad。其中磁链的$d\text{-}q$d-q轴分量关系式为:
$\left\{ \begin{matrix}{} {{\psi }_{d}}={{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}} \\ {{\psi }_{q}}={{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ \end{matrix} \right. \tag{11}${ψd​=Ld​id​+ψf​ψq​=Lq​iq​​(11)
式中：${{L}_{d}}$Ld​、${{L}_{q}}$Lq​分别为$d\text{-}q$d-q轴电感。将式(11)代入式(10)即可以得到$d\text{-}q$d-q两相旋转坐标系下的电压方程为：
$\left\{ \begin{matrix}{*{35}{l}} {{u}_{d}}={{R}_{s}}{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}} \\ {{u}_{q}}={{R}_{s}}{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}+{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}}) \\ \end{matrix} \right. \tag{12}${∗35lud​=Rs​id​+Ld​dtd​id​−ωe​Lq​iq​uq​=Rs​iq​+Lq​dtd​iq​+ωe​(Ld​id​+ψf​)​(12)

根据机电能量转换原理，此时电磁转矩方程为
${{T}_{e}}=\frac{3}{2}{{p}_{n}}{{i}_{q}}\left[ {{i}_{d}}({{L}_{d}}-{{L}_{q}})+{{\psi }_{f}} \right]\tag{13}$Te​=23​pn​iq​[id​(Ld​−Lq​)+ψf​](13)

另外，电机的机电运动方程为:
$J\frac{d{{\omega }_{m}}}{dt}={{T}_{e}}-{{T}_{L}}-B{{\omega }_{m}}\tag{14}$Jdtdωm​​=Te​−TL​−Bωm​(14)

式中：$J$J为电机的转动惯量，kg*m2；${{\omega }_{m}}$ωm​为机械角速度，rad/s；${{T}_{L}}$TL​为负载转矩，Nm；B为阻尼系数。
其中数学模型转换中另外存在的重要关系式为：
$\left\{ \begin{matrix}{} {{\omega }_{e}}={{p}_{n}}{{\omega }_{m}} \\ {{N}_{r}}=\frac{30}{\pi }{{\omega }_{m}} \\ {{\theta }_{e}}=\int{{{\omega }_{e}}dt} \\ \end{matrix} \right.\tag{15}$⎩⎨⎧​ωe​=pn​ωm​Nr​=π30​ωm​θe​=∫ωe​dt​(15)

其中${{N}_{r}}$Nr​为电机的转速，rpm。