第四章-第二节-指数与对数映射
一、 S O ( 3 ) SO(3) SO(3)上的指数映射
对于 s o ( 3 ) so(3) so(3)中的元素 ϕ \phi ϕ，可计算其模长及方向向量分别为 θ \theta θ和 a a a。经过数学推导（详见视觉SLAM十四讲79页）, S O ( 3 ) SO(3) SO(3)上的指数/对数映射公式如下：
已知
ϕ
\phi
ϕ，求解
R
=
exp
(
ϕ
∧
)
R{\rm{ = }}\exp (\phi ^ \wedge)
R=exp(ϕ∧)，即指数映射公式:
已知
R
R
R，求解
ϕ
\phi
ϕ，即对数映射公式：
θ
=
arccos
t
r
(
R
)
−
1
2
a
=
R
a
\begin{array}{l} \theta = \arccos \frac{{tr(R) - 1}}{2}\\ a = Ra \end{array}
θ=arccos2tr(R)−1a=Ra
对于该公式的理解：
1）指数对数映射公式与第三讲中旋转向量与旋转矩阵的变换公式是一致的，这说明
s
o
(
3
)
so(3)
so(3)实际上就是旋转向量组成的空间。
2）指数映射是一个满射，但不是一个单射。即每个
R
R
R都能找到与之对应的
ϕ
\phi
ϕ，但可能存在多个
ϕ
\phi
ϕ对应同一个
R
R
R。最简单的例子就是旋转360度和旋转720度是一样的。但如果将旋转角固定在
±
π
\pm \pi
±π之间，那么
S
O
(
3
)
SO(3)
SO(3)和
s
o
(
3
)
so(3)
so(3)中的元素是一一对应的。
二、 S E ( 3 ) SE(3) SE(3)上的指数映射
对于 s e ( 3 ) se(3) se(3)上的元素 ξ = [ ρ , ϕ ] \xi = [\rho ,\phi ] ξ=[ρ,ϕ]，其中 ϕ = θ a \phi = \theta a ϕ=θa与 S E ( 3 ) SE(3) SE(3)的元素欧氏变换矩阵 T T T，有以下映射关系：
已知
ξ
=
[
ρ
,
ϕ
]
\xi = [\rho ,\phi ]
ξ=[ρ,ϕ]，求
T
=
exp
(
ξ
∧
)
{\rm{T = }}\exp (\xi ^\wedge)
T=exp(ξ∧)，即指数映射:
T
=
exp
(
ξ
∧
)
=
[
R
t
0
T
1
]
=
[
R
J
ρ
0
T
1
]
{\rm{T = }}\exp (\xi ^\wedge) = \left[ {\begin{matrix} R&t\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right] = \left[ {\begin{matrix} R&{J\rho }\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right]
T=exp(ξ∧)=[R0Tt1]=[R0TJρ1]
R
=
cos
θ
I
+
(
1
−
cos
θ
)
a
a
T
+
sin
θ
a
∧
R = \cos \theta I + (1 - \cos \theta )a{a^T} + \sin\theta a^\wedge
R=cosθI+(1−cosθ)aaT+sinθa∧
J
=
sin
θ
θ
I
+
(
1
−
sin
θ
θ
)
a
a
T
+
1
−
cos
θ
θ
a
∧
J = \frac{{\sin \theta }}{\theta }I + (1 - \frac{{\sin \theta }}{\theta })a{a^T} + \frac{{1 - \cos \theta }}{\theta }{a^ \wedge }
J=θsinθI+(1−θsinθ)aaT+θ1−cosθa∧
已知
T
=
exp
(
ξ
∧
)
=
[
R
t
0
T
1
]
{\rm{T = }}\exp (\xi ^\wedge) = \left[ {\begin{matrix} R&{t }\\ {{0^T}}&1 \end{matrix}} \right]
T=exp(ξ∧)=[R0Tt1],求解
ξ
=
[
ρ
,
ϕ
]
\xi = [\rho ,\phi ]
ξ=[ρ,ϕ]，即对数映射：
θ
=
arccos
t
r
(
R
)
−
1
2
a
=
R
a
\begin{array}{l} \theta = \arccos \frac{{tr(R) - 1}}{2}\\ a = Ra \end{array}
θ=arccos2tr(R)−1a=Ra
J
=
sin
θ
θ
I
+
(
1
−
sin
θ
θ
)
a
a
T
+
1
−
cos
θ
θ
a
∧
J = \frac{{\sin \theta }}{\theta }I + (1 - \frac{{\sin \theta }}{\theta })a{a^T} + \frac{{1 - \cos \theta }}{\theta }{a^ \wedge }
J=θsinθI+(1−θsinθ)aaT+θ1−cosθa∧
ρ
=
J
−
1
t
\rho = {J^{ - 1}}t
ρ=J−1t
对于该公式的理解：
1）公式中旋转部分与
S
O
(
3
)
SO(3)
SO(3)保持一致，而
s
e
(
3
)
se(3)
se(3)的平移部分
ρ
\rho
ρ到
S
E
(
3
)
SE(3)
SE(3)的平移部分
t
t
t则发生了一次以
J
J
J为系数矩阵的线性变换。