线段和圆/球的相交性检测
本文讨论2D中线段和圆的相交性检测，检测的方法也适用于3D中线段和球之间的相交性测试，这是因为可以在包含线段和球心的平面进行检测，从而将3D问题转化为2D问题。（如果线段包含在穿过球心的直线上，那么这个平面就不是唯一的，但这并不是问题，在这种情况下我们能使用任意包含射线和球心的平面来进行计算。）
如下图用圆心c和半径r来定义球，线段的定义为：p(t)=p0+td，这里d为单位向量，t从0变化到l，l为线段长度。所要求的是交点处t的值：
t = a - f;
a的计算方法如下，设e为从p0直线圆心c的向量：
e = c - p0;
将e投影到d上，这个向量的的长度为a，它的计算式为：
a = e.d（点乘） （此式看不明白的请参考向量投影相关知识）
现在的任务就是计算f。首先，根据勾股定理，可以很清楚地得到：
f2+b2=r2
在较大的三角形中用勾股定理求得b2:
a2+b2=e2
b2 = e2-a2
e是从线段起点到圆心之间的距离，也就是向量e的长度，因此，e2:
e2 =e.e
代入并化简得：
f = sqrt(r2-e2+a2)
最后求得t:
t = a - f
这里考虑开根号出来的正负两种情况，从而得到两个交点。
这里注意为负，那么射线与圆不相交。
代码实现如下:
#include "iostream" #include "math.h" using namespace std; #define EPS 0.00001 struct pointf { float x; float y; pointf() { } pointf(float m, float n) : x(m),y(n) { } }; /** * @brief 求线段与圆的交点 * @return 如果有交点返回true,否则返回false * @note 与圆可能存在两个交点，如果存在两个交点在ptInter1和ptInter2都为有效值，如果有一个交点，则ptInter2的值为 * 无效值，此处为65536.0 */ bool LineInterCircle( const pointf ptStart, // 线段起点 const pointf ptEnd, // 线段终点 const pointf ptCenter, // 圆心坐标 const float Radius, pointf& ptInter1, pointf& ptInter2) { ptInter1.x = ptInter2.x = 65536.0f; ptInter2.y = ptInter2.y = 65536.0f; float fDis = sqrt((ptEnd.x - ptStart.x) * (ptEnd.x - ptStart.x) + (ptEnd.y - ptStart.y) * (ptEnd.y - ptStart.y)); pointf d; d.x = (ptEnd.x - ptStart.x) / fDis; d.y = (ptEnd.y - ptStart.y) / fDis; pointf E; E.x = ptCenter.x - ptStart.x; E.y = ptCenter.y - ptStart.y; float a = E.x * d.x + E.y * d.y; float a2 = a * a; float e2 = E.x * E.x + E.y * E.y; float r2 = Radius * Radius; if ((r2 - e2 + a2) < 0) { return false; } else { float f = sqrt(r2 - e2 + a2); float t = a - f; if( ((t - 0.0) > - EPS) && (t - fDis) < EPS) { ptInter1.x = ptStart.x + t * d.x; ptInter1.y = ptStart.y + t * d.y; } t = a + f; if( ((t - 0.0) > - EPS) && (t - fDis) < EPS) { ptInter2.x = ptStart.x + t * d.x; ptInter2.y = ptStart.y + t * d.y; } return true; } } void main(void) { pointf ptStart(3.0, 2.0); pointf ptEnd(10.0, 6.0); pointf ptCenter(10.0, 4.0); float fR = 3.0; pointf pt1, pt2; if (!LineInterCircle(ptStart, ptEnd, ptCenter, fR, pt1, pt2)) { cout<<"不相交!"<<endl; } else { cout<<"交点"<<endl; cout<<pt1.x<<" "<<pt1.y<<endl; cout<<pt2.x<<" "<<pt2.y<<endl; } }
程序输出：
交点
7.01444 4.29396
65536 65536
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