关于LDPC码

关于LDPC码的介绍非常的多，有关的期刊和论文数不胜数，但是很多人多注重创新点的介绍，在内容上忽略了LDPC码最基本的内容。很多的论文中，对LDPC编码的内容经常是毫无多余的解释，直接放出一张Tanner图，之后就开始介绍译码，这对于初学者很不友好。

信道编码

关于LDPC码的一切要先从信道编码开始，通信行业中，对数据的传输的期望其实和生活中和他人沟通交流一样，都是希望又快又好。用通信的话说就是有效性和可靠性。但是显而易见的是，有效性和可靠性是一对矛盾，前者要求信息的传输必须精简高效，而后者则要求信息的传输必须繁杂冗余。因此，在这两个不同的方向中引申出了两个不同的领域：信源编码和信道编码。
信源编码的本质就是把长的变短，减少废话；
信道编码的本质就是把短的变长，减小错误带来的影响。

信源编码（有效性） 信道编码（可靠性）

信道编码的本质就是对接收到的比特（信息比特）进行处理，从而得到一系列新的比特（校验比特）。最后将两者拼在一起就可以得到编码后的结果就是编码结果。显而易见的是，“新的比特”是根据“旧的比特”以一定的特殊关系生成的。而这一特殊关系正是编码的规则。
信 息 比 特 + 编 码 方 式 = 校 验 比 特 信息比特+编码方式=校验比特 信息比特+编码方式=校验比特
信 息 比 特 + 校 验 比 特 = 编 码 后 的 码 字 信息比特+校验比特=编码后的码字 信息比特+校验比特=编码后的码字

奇偶校验

要怎样将短的码字变长，提高正确率，减小误码率呢，最初人们想到的是在所有的信息比特的最后加上一个校验比特，而这一比特的选择由前面信息比特的0和1的个数决定，这种理解上简单，在软件和硬件中实现起来也很简单的方式就是奇偶校验码。

图2 奇偶校验码

优点

毫无疑问，这种编码方式十分简单友好，只需要一句话就可以解释清楚，在硬件和软件的实现中本质上就是在做模二加
1 + 1 = 0 1+1=0 1+1=0
1 + 0 = 1 1+0=1 1+0=1
0 + 0 = 0 0+0=0 0+0=0
0 + 1 = 1 0+1=1 0+1=1

缺点

1. 只能检错不能纠错
2. 只能检查出奇数个错误，不能检查出偶数个错误

奇偶校验的改进

在奇偶校验码的基础上，人们在原来的基础上发现：

1. 奇偶校验码的本质是对所有的输入的信息比特进行模二加，那能不能只对部分的输入码字进行模二加呢？

2. 除此之外，奇偶校验码的校验比特只有一位，那能不能多加几位呢？

在此基础上，人们又对原来的奇偶检验位进行改进：

图2 改进的奇偶校验

可以从图中看出，这次的“奇偶校验码”跟原来有了很大的区别，甚至都不像是奇偶校验码了，输入的信息比特一共有3位，而输出的结果也有3位，输出的三位的结果分别是输入的三位其中两位的模二加。
设输入的信息比特分别为：
s 1 , s 2 , s 3 s1,s2,s3 s1,s2,s3
得到的校验比特分别为
p 1 , p 2 , p 3 p1,p2,p3 p1,p2,p3
其计算公式可以写成
s 1 + s 2 = p 1 s1 +s2=p1 s1+s2=p1
s 1 + s 3 = p 2 s1 +s3=p2 s1+s3=p2
s 2 + s 3 = p 3 s2 +s3=p3 s2+s3=p3
此时就引入了一个码率的概念，即：
码 率 = 输 入 的 码 字 个 数 / 总 码 字 的 个 数 码率 = 输入的码字个数/总码字的个数 码率=输入的码字个数/总码字的个数
此处的码率就是0.5。

优点

可以看出，这种改进后的版本改进了原本只能检错不能纠错的特点，这一次可以纠错了。可靠性提高了。
纠错的方法如下：假设在传输的过程中很不巧其中一位丢失了，就如下图所示：

此时只需要根据公式： s 1 + s 2 = p 1 s1 +s2=p1 s1+s2=p1就可以反求出s2的值。
这种方式不仅仅可以纠错一位，两位也是可以的，方法和纠错一位是一样的，如下图所示，两位信息位都出现了错误：

利用公式就可以纠错：
s 1 + s 3 = p 2 s1 +s3=p2 s1+s3=p2
s 2 + s 3 = p 3 s2 +s3=p3 s2+s3=p3
还有一种情况是信息位和校验位各自出现了一位错误：

此时也很好解决，只需要利用公式就可以解决：
s 1 + s 2 = p 1 s1 +s2=p1 s1+s2=p1
s 2 + s 3 = p 3 s2 +s3=p3 s2+s3=p3

缺点

这种方式的缺点其实也很明显，原来的校验比特只有1位，而现在变成了3位，这增加了系统的复杂度，也增加了冗余，系统的有效性下降了

小结

这种改进的方式其实就是LDPC码的本质。而这种 “上面是一个个圆，下面是一个个正方形” 的图，用于表现信息比特和校验比特关系的，正是LDPC码的Tanner图。上面的圆形，就是变量节点，下面的正方形，就是校验节点。

这种编码方式的特点在于，只要我设计的校验位足够多，公式足够复杂

令人无法理解的是，很多的文献居然直接跳过以上这个部分，直接从Tanner图开始讲解LDPC编码，这对于初学者很不友好，
关于以上这个部分,有条件的话建议观看：
LDPC讲解视频(Youtube).

进一步的改进

对于以上改进后的编码方式，其实离LDPC码就剩一步了。因为在传输过程中不仅仅是信息比特会出现错误，而是整个编码后的结果都会出现错误，因此必须要将信息比特和校验比特放在同等的位置。相互纠错和检错。

用公式可以表示为：

s 1 + s 2 + p 1 = 0 s1+s2+p1=0 s1+s2+p1=0
s 1 + s 3 + p 2 = 0 s1+s3+p2 = 0 s1+s3+p2=0
s 2 + s 3 + p 3 = 0 s2+s3+p3 = 0 s2+s3+p3=0
而这三个公式又可以进一步表示为一个矩阵：
[ 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ] \quad \begin{bmatrix} 1 & 1& 0&1&0&0\\ 1 & 0& 1& 0& 1& 0\\ 0 & 1& 1& 0& 0& 1\end{bmatrix} \quad ⎣⎡​110​101​011​100​010​001​⎦⎤​

这一矩阵正是校验矩阵.

后记

本文于2020年11月17日开始撰写，感谢youtube上的